简单多面体综合
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一、选择题
1．下列棱柱是正四棱柱的是 （ ）
（A）底面是正方形，有两个侧面是矩形. （B）底面是正方形，有两个侧面垂直于底面.
（C）底面是矩形，两个相邻侧面分别是矩形和正方形. （D）四个侧面是全等的矩形.
2．过球面上任意两点，可以作的大圆的个数为 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）无数多个 （D）无数多个或1个
3．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角为 （ ）
（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5．在斜棱柱的侧面中矩形最多有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）6个
6．一个表面积为p的球内挖去一个最大的正方体，则所剩下的几何体的体积是 （ ）
（A）- （B）- （C）- （D）-
7．在四棱锥A-BCDE中，AB⊥底面BCDE，且BCDE为正方形，则四棱中互相垂直的面有（ ）
（A）6对 （B）5对 （C）4对 （D）3对
8．一个长方体的表面积为22cm2，体积是8cm3，这样的长方体 （ ）
（A）只有一个 （B）只有两个 （C）无数多个 （D）不存在
9．设命题甲“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”，那么甲是乙的 （ ）
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
10．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
11．若一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积和球的体积之比为 .
12．正六面体每个面的中心是一个正八面体的顶点，则这个正六面体和正八面体的体积之比为 .
13．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与AA1、AD均成60°角，那么它与AB所成的角为 .
14．一个简单多面体，各个面的内角和为3600°，则它的面数为 .
三、解答题
15．已知三棱锥A-BCD的各棱长均为a，点P在棱AB上，点Q在棱CD上，求点P和点Q的距离最小值.
16．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°上，A、B两点的球面距离是pR，A在东经20°，求点B的位置.
17．如图，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b且a＞c，b＞d两底面间的距离为h.
（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）证明：EF∥面ABCD；
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算，已知它的体积公式是
V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。