1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
一、情景导入：
1．周期函数定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数T≠0，使得对一切x∈D,且x+T∈D时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
2．三角函数的周期性，是角的终边位置周期性的变化的反映，这种周期性清晰地表现在三角函数的图像中．正弦函数
、余弦函数
都是周期函数，它们的周期都是
，
，它们的最小正周期都是
．
3．函数
和
(
,
是常数)都是周期函数,它们的最小正周期都是
二、感受理解：
1．求下列函数的周期：
（1）
； （2）
； （3）
；
（4）
； （5）
； （6）
．
2．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的
的区间．
①
②
③
④
3．观察正弦曲线和余弦曲线，你发现它们的图象与
轴交点的坐标有什么规律？
４．函数
有
能否说
是正弦函数
的周期？
5．函数
是周期函数吗？为什么
三、迁移拓展：
6．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列四个函数中为周期函数的是（ ）
A．y=3 B．
C．
D．
8．使
成立的x的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在函数
，
，，
中，最小正周期为
的函数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知函数
（其中
），当自变量x在任何两个整数之间（包括整数本身）变化时，至少会有一个周期，则最小的正整数k是（ ）
A．60 B．61 C．62 D．63
11．若
，
，则 
=
.
12．函数
的最小正周期
13．函数
的最小正周期 ．
14．若
，则的取值范围是
提示：由得
，再结合函数的图象可求解
15．已知周期函数
是奇函数，6是的一个周期，且
，则
＝ ．
16． 求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
17．求证：
的最小正周期为 ；
提示：依据周期函数定义
证明．
18．求函数
的定义域．
提示：根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件
的区间，然后两边加
．
19．设三角函数f(x)=sin(
x+
)(k≠0).
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；
(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.
20． 定义在Ｒ上的函数
是奇函数，又是以３为周期的周期函数，且
，
，求实数
的取值范围
四、实践应用：
21．若函数
的图象关于直线
和
都对称，试问函数是否一定是周期函数？若是求出其一个周期；若不是请举出反例．
22．设
是定义在
上的偶函数，其图象关于
对称，对任意
，都有
。
（１）
设
，求
（２）证明是周期函数
参考答案：
1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
二、感受理解
1． （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
．
2．
①
， ②
，③
④
3．
，
4． 不能，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式
成立，所以不符合周期函数的定义．
5．若是周期函数，则有非零常数
，使，即
，化简得
，∴
，或
（不是常数），故满足定义的非零常数不存在，因而
不是周期函数．
三、迁移拓展：
6．A 7．C 8．A 9．C 10．D 11．2 12．
13． 14．
15．
，
，∴ 
，即
．
16．（１）（２）（３） 17．略 18．
，
19．
(1)M=1,m=-1,T=
=
.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须f(x)的周期≤1，即≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.
20．由于函数是奇函数，，则
，即
，得
四、实践应用：
21．一定是周期函数，
是其一个周期．
的图象关于直线和
对称，则
，
则
22．(1) 
得
得
（２） 依题意，设
关于直线
对称，有
即
又
为偶函数，有
将式中的
以代换，有
是
上的周期函数，且2是它的周期。