高一数学竞赛(二试)
注:本试卷可使用计算器.
一、 选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。
1、
为实数，集合
表示把集合
的元素
映射到集合
中仍为，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2、
化简的结果为
（A）
（B）
（C） （D）
3、
已知
，则
在
方向上的投影为
（A）
（B）
（C）
（D）
4、
在数列
中，
则
（A）
（B）
（C）
（D）
5、
已知函数
满足
对任意的
都成立。若
，则
与
的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）不确定
6、
设
为实数，
。则下列四个结论中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
7、
设
，若
且
，下列结论中必定成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
8、
曲线
与直线
的交点个数是
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
9、
函数
定义在正整数有序对的集合上，并满足
，则
的值为
（A）364 （B）182 （C）91 （D）无法计算
10、
是平面上一定点，
平面上不共线的三个点，动点满足
，则的轨迹一定通过
的
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
二、 填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。要求直接将答案写在横线上。
11、函数
在区间
上递增，则实数
的取值范围是
。
12、平面点集
，用列举法表示
。
13、已知数列中，
，则
。
14、已知
，则
。
15、已知实数
满足
，则
。
16、已知
是定义在
上的增函数，当
时，有
则
。
17、若
则
最小值是
。
18、若
表示不大于的最大整数，则使得
成立的正整数
的最小值是
。
19、已知，则函数
的最大值与最小值的和等于
。
20、已知集合
任取
以为长度的线段都能构成三角形，则实数
的取值范围为
。
三、 解答题：本大题共2小题，每小题15分，满分30分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
21、已知二次函数
满足条件：对任意实数都有
；且当
时，总有
成立。
（1）求
的值；（2）求
的取值范围。
22、已知函数
满足
，且
。如果存在正项数列满足：
。
（1）求数列的通项；（2）证明：
。
参考答案
一、选择题：CCBBB BDCAD
二、填空题：11、
12、
13、4014 14、2 15、0
16、5 17、
18、314 19、
20、
三、解答题：
21、解：（1）
5分
（2）对任意实数都有，即
恒成立，
∴
，由于
。
此时
，当时，总有成立，
的取值范围是
。
15分
22、证明：（1）
又
两式相减得：
。
则
5分
（2）由（1）得：
15分