高一数学期末综合练习(一)

高一数学期末综合练习(一)

【课内四基达标】

一、选择题

1.下列四个命题：①若｜a｜＝0，则a＝0，②｜a｜＝｜b｜，则a＝b，或a＝-b③若a与b是平行向量，则｜a｜＝｜b｜  ④若a＝O，则-a＝O.其中正确命题个数是(　　)

A.3 　　　　　　B.2　 　　　　　　　C.1　　　　 　　　　D.0

2.已知函数f(x)＝ (cotx-1)(cos2x-1)，则f()等于(　　)

A.　　　 B. 　　　　　C. 　　　　D.

3.设a+b＝(2,-8),a-b＝(-8,16)，则a与b夹角为(　　)

A.π-arccos　　　　　　　　　　　B.π+arccos

C.-arccos　　　　　　　　　　　　D.arccos

4.设tanx＝2，则的值为(　　)

A. 　　　　　 B. 　　　　　 　　C.- 　　　　　　　D.

5.设＝(1，3)，＝(2，-1)，向量⊥，∥，则是(　　)

A.(7，14)　　　 B.(14，7)　　　 　　C.(2，-1)　　　 　　D.(-1，2)

6.函数y＝2sinx·cos2x+sinx的最小正周期是(　　)

A.2π　　　　　 B.π　　　　　　　　C. π　　　　 　　D.

7.△ABC的三边长分别为｜｜＝7，｜｜＝5，｜｜＝6，则·的值为(　　)

A.38　　　　　　B.-38　　　　　 　　C.19　　　　　　　　D.-19

8.已知向量a＝(2cosφ,2sinφ),φ∈(,π),b＝(0,1)，则a与b的夹角为(　　)

A. -φ　　　B. +φ　　　　　　C.φ-　　　　 　　D.φ

9.函数f(x)＝lg是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数　　　　　　B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为2π的奇函数　　　 　　D.最小正周期为2π的偶函数

10.设i,j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i-2j, ＝7i+4j, ＝3i+6j，由四边形ABCD的面积是(　　)

A.20　　　　　　B.5　　　　 　　C.45　　　　　　　　D.30

二、填空题

11.已知｜a｜＝2,｜b｜＝1，a与b夹角为30°，则｜a-b｜的值为　　　　　　 .

12.在平面四边形ABCD中，＝a, ＝b, ＝c, ＝d,且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，则四边形ABCD是　　　　　　 .

13.已知｜a｜＝,｜b｜＝3，a与b的夹角为30°，则a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围是　　　　　　 .

14.△ABC的各顶点坐标分别为A(-1，2)、 B(3，-1)、 C(-5，3)，D是BC上一点，若

S_△ABD＝S_△ABC，则D的坐标是　　　　　　 .

三、解答题

15.若△ABC的三个内角的A、B、C成等差数列，A为最小角，且cos＝sinA+sinC，求∠A的大小.

16.设a＝(1+cosα,sinα),b＝(1-cosβ,sinβ),c＝(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π), a与c的夹角为θ₁，b与c的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂＝，求sin的值.

17.已知a＝(,-1),b＝(,)

(1)证明：a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a+(t²-3)b,y＝-ka+tb,且x⊥y.试求函数关系式k＝f(t);(3)讨论关于t的方程f(t)-tk＝0的解的情况.

18.将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.

【能力素质提高】

1.任意给定4个定点A、B、C、D，求·+·+·的值.

2.已知3a-2b＝(-2,4),c＝(-2,2),a·c＝2，｜b｜＝4，求b与c的夹角.

3.已知a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ),a与b之间有关系｜ka+b｜＝｜a-kb｜，其中k＞0

(1)用k表示a,b;

(2)求a、b的最小值，并求此时a、b的夹角的大小.

【综合实践创新】

1.若d＝(a·c)·b-(a·b)·c，求a与d的夹角.

2.在正三角形ABC中，｜｜＝a，则·+·+·的值为多少?

3.已知｜a｜＝2,｜b｜＝2,a+b＝(3, )，求向量a与b的夹角.

【高考真题演练】

1.已知α是第三象限角且sinα＝-,则tan＝(　　)

A. 　　　 　　B. 　　　　　 　　C.- 　　　　　　　D.-

2.的值为　　　　　　 .

3.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为(　　)

A.arccos　　　　　　　　 　　B.arcsin

C.arccos　　　　　　　　 　　D.arcsin

4.若sinα＞tanα＞cotα(-＜α＜　则α∈(　　)

A.(- ，-)　　　　　　　　　　　B.(- ，0)

C.(0，)　　　　　　　　　　　 　　D.( ，)

5.若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是(　　)

A.sinx　　　　　B.cosx　　　　　　　C.sin2x　　　　 　　D.cos2x

6.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：＝

参考答案

【课内四基达标】

一、1.C　2.B　3.A  4.D　5.A　6.C  7.D　8.C　9.C  10.D

二、11.　12.矩形　13.λ＜或λ＞　14.(1,0)

三、15.解  A、B、C等差2B＝A+CB＝60°　A+C＝120°

又∵cos＝sinA+sinC cos＝2sincos cos

　cos＝cos又∵A为最小角　∴＝ C＝2A

∴A+2A＝120°A＝40°

16.解  ∵a＝(2cos²,2sincos)＝2cos (cos,sin)θ₁＝

b＝(2sin²,2sincos)＝2sin (sin,cos) θ₂＝-

∴θ₁-θ₂＝+

＝ ＝-

∴sin ＝sin(-)＝-

17.解：(1)证明：∵a·b＝×+(-1)×＝ -＝0　∴a⊥b

(2)∵x⊥y∴x·y＝0-ka²+t(t²-3)b²＝0-4k+t(t²-3)＝0

　k＝f(t)＝t(t²-3)

(3)f(t)-tk＝0t(t²-3)-tk＝0t＝0或k＝ (t²-3)

当k＞0时，原方程有三解.

当k＝0时，原方程有两解.

当-＜k＜0时，原方程有三解.

当k＝-时，原方程有一解

当k＜-时，原方程有一解

总之　当- ＜k＜0时或k＞0时，原方程有三解

当k＝0时，原方程有两解

当k≤- 时，原方程有一解

18.解：第一种截法，连结OM.设∠MOP＝θ，则

MP＝20sinθ　OP＝20cosθ　S＝MP·OP＝200sin2θ

当2θ＝90°时，即θ＝45°时　S_max＝200(cm²)

第二种截法：连结OM.设∠MOP＝θ，则

MN＝40sin(60°-θ)　QM＝sinθ＝sinθ

∴S＝MN·QM＝  (60°-θ)sinθ＝-［cos60°-cos(60°-2θ)］＝［cos(60°-2θ)- ］

当60°-2θ＝0°θ＝30°时S_max＝ (cm²)

又∵＞200　∴第二种截法能得到最大面积的矩形。这个最大值为 (cm²)

【能力素质提高】

1.解原式＝·+·+(+)＝·)·＝(+)·+·(+)＝·+·＝·(+)＝0

2.解：(3a-b)c＝43a·c-2b·c＝46-2×｜b｜｜c｜cosθ＝46-2×4×2cosθ＝4cosθ＝θ＝arccos

3.解：(1)｜ka+b｜＝｜a-kb｜²｜ka+b｜＝3｜a-kb｜²k²+2kab+1＝3-6kab+3k²8kab＝2(k²+1) a·b＝　(k＞0)

(2) a·b＝ (k+)≥　∴a·b_min＝

此时　cosθ＝θ＝60°

【综合实践创新】

1.解：∵a·d＝a［(a·c)·b-(a·b)·c］＝(a·c)·(a·b)-(a·b)·(a·c)＝0

∴a⊥d即a与d的夹角为90°

2.解：原式：a²·cos120°+a²cos120°+a²cos120°＝-a²

3.解：∵a+b＝(3, ) a²+2ab+b²＝124+2·2·2cosθ+4＝12cosθ＝θ＝60°.

【高考真题演练】

1.D　2.2-　3.B　4.B  5.B

6.证明：由余弦定理　a²＝b²+c²-2bccosA

b²＝a²+c²-2accosB

∴a²-b²＝b²-a²-2bccosA+2accosB

整理得　＝

依正弦定理有：＝　＝

∴＝＝