高一数学第一学期期末试题

高一数学第一学期期末试题

　　

　　班级：_________；姓名：____________；成绩：__________　(120分钟)

　　一. 选择题：将下列各题的答案填入表中(每小题3分，共3×12 = 36分)

　　1. 设集合P = {(x, y) y = x²}, 集合Q = {(x, y) y = x}则等于

(A)　{（0, 0）}　　　　　(B) {（1,1）}

(C) {(0,0),(1,1)}　 　　　 (D) {(0,1)}

　　2. 命题“若a = 0，则ab = 0”的逆否命题是　　　　　  .

(A)若ab = 0，则a = 0　　 (B)若a≠0, 则ab≠0

(C)若ab = 0,　则a≠0　　 (D)若ab≠0，则a≠0

　　3. 函数y=－lg(1－x )的定义域是

　　(A) [-3, 　　　 (B) (2, 3)　　　(C) (3, +¥)　　　　(D) (1, 2)

　　4. 设1< a < b < c则下列不等式中正确的是

　　(A) c^a < b^a　　　　(B)  a^c > a^b  　(C) log_cb < log_ca　  (D) log_ca > log_ba

　　5. 已知等差数列{a_n}满足a₁ + a₂ + … + a₉₁ = 0，则有

　　 (A) a₃ + a₈₉ = 0　 (B) a₂ + a₉₀ < 0　(C) a₁ + a₉₁ > 0 　 (D) a₄₆ = 46

　　6. 若指数函数满足f (- 2) = 4, 则f^-1 (x)的解析式是

(A) f^-1 (x) = log₂x 　　　　　(B) f^-1 (x) = log₄x

(C) f^-1 (x) =－log₂x 　　 　　(D) f^-1 (x) =－log₄x

　　7. 某人从2003年起，每年1月14日到银行新存入a元(一年定期). 若年利率为r保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年1月14日将所有存款及利息全部取回(不考虑利息税)，他可取回的钱数为

(A) a (1 + r)⁵元  (B) 元

(C) a (1 + r)⁶元 (D)元

8. 设f (x), g (x)都是定义在R上的单调函数，有如下四个命题：

①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)·g (x)单调递增；

②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；

③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；

④若f (x)单调递减，g (x)单调递增且g (x)≠0，则单调递减. 其中正确命题的序号是

　　(A) ①②③　　(B) ②③④　　(C) ②③　　(D) ①②③④

　　9. 方程x² + x =

　　(A)无实根 　 (B) 有异号两根 　 (C) 仅有一负根 　 (D) 仅有一正根

　　10. 若函数f (x)的图象与函数g (x)=()^x的图象关于直线y = x对称，则f (2x－x²)的单调递减区间是

　　(A)[2, +　　 (B) (0, 　 　　 (C) [1, 　　　　 (D)(－∞, 0)

　　11. 在各项都不等于零的等差数列{a_n}中，若m > 1，且a_m-1 + a_m+1－a_m² = 0, S_2m-1 = 38，则m等于

　　(A) 38　　　　 (B) 20　 　　　　 (C) 10　 　　　　 (D) 9

12. 各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂, a₃, a₁成等差数列，则的值是

 (A) 　　(B) 　　　　(C)  　　　 (D) 或

　　二. 填空题：(每小题3分，共3×4 = 12分)

　　13. 2log₅25 + 3log₂64－lg(log₃3¹⁰) = _______________.

　　14. 设数列{a _n}的前n项和S_n =－n ² + 1 , 那么此数列的通项公式a _n = _________________.

　　15. 已知-9, a₁, a₂, -1四个实数成等差数列，-9, b₁, b₂, b₃, -1五个实数成等比数列，则b₂(a₂－a₁)等于______________ .

　　16. 对于任意定义在R上的函数f (x)，若实数x₀满足f (x₀) = x₀，则称x₀是函数f (x)的一个不动点，若函数f (x)= ax² + (2a – 3)x + 1恰有一个不动点，则实数a的取值集合是_________________ .

　　三. 解答题：(共52分)

17. 求不等式组  的解集.

 

 

18. 设{a _n}为等比数列，{b _n}为等差数列，且b ₁＝0，c_n = a_n + b_n，若{c _n}是1, 1, 2, …, 求数列{c _n}的前10项和

 

 

19. 成等差数列的三个整数x、y、z，其和S∈(-5, 0)，且x＋y，y＋z，z＋x成等比数列，求此三数.

 

 

20. 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x（m/s）满足二次函数关系：（n为常数，且n∈N*）.我们做过两次实验，发现当x = 20m/s时，刹车距离是y₁,且5 < y₁ < 7; 当x = 35m/s时，刹车距离是y₂, 且13 < y₂ < 15.

(1) 求出n的值；

(2) 要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？

 

 

　　21. 已知函数f (x) = log_ax (a>0且a≠1). 若数列2, f (a₁), f (a₂), …, f (a_n), 2n + 4 (n∈N*)成等差数列. (1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)令b_n = a_nf (a_n)，当a > 1时，判断数列{b_n}的单调性并证明你的结论.

 

 

　　22. 已知函数f (x) = 2^x+1 +(a∈R且a≠0).

　　(1) 当a =－1时， 判断f^-(x)在R上是增函数还是减函数，并说明理由；

　　(2) 判断f (x)奇偶性

　　

 

 

 

参考答案：

 

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	A	B	A	C	D	C	D	B	C	A

13. 21; 14.; 15. -8; 16.{0, 1, 4}

　　17.　解: 原不等式组可化为即

　　原不等式组的解集为.

　　18. 解: c₁ = a₁ + b₁1 = 0 + a₁∴a₁ = 1.

　　设两数列的公比为,公差为,

　　又

　　=

　　19.解: ∵2y = x + z且-5<x + y + z <0∴-5< 3y <0∵x, y, z∈Z∴y = -1

　　又x + y, y + z, z + x成等比数列∴(y + z)² = (x + y)(z + x) ∴(z – 1)²= -2(x – 1)且x + z = -2解得：z = 5, x = -7或z = x = -1∴所求三个数为：x = -7, y = -1, z = 5或x = y = z = -1

　　20 解：（1）由题意知

　　，

　　由于，

　　（2）根据题意得+

　　∴x² + 6x – 1840 < 0，即(x + 46)(x – 40) < 0 ∴0 < x < 40 即行驶的最大速度为40m/s.

　　答: 要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为40m/s.

　　21.　(1)设公差为d，则d = (2n+4-2)/(n+2-1) = 2∴f (a_n) = 2 + (n + 1 – 1)d = 2n + 2∴log_aa_n = 2n + 2∴a_n = a²ⁿ⁺²; (2) b_n = a_n·log_aa_n = (2n + 2)a^{2n + 2}∴b_n/b_n-1 = (n + 1)a²/n > 1∴b_n > b_n-1 数列{b_n}是递增数列.

　　22. 解：(1) a = -1时，y = 2^{x + 1} –

　　任取x₁ < x_­2，则f (x₂) – f (x₁) = 2(2- 1)(1 +)

　　∵x₁ < x₂­∴2> 0, 1 +> 0, x₂ – x₁ > 0∴2> 1，即2- 1 > 0∴f (x₂) – f (x₁) > 0，即f (x₂) > f (x₁) ∴f (x)在R上是增函数。

　　(2) ∵f(-x)=  ∴若f (x)是偶函数，则≡2^x+1 +

　　∴(a–1)(2^x+1-2^1-x)≡0　　 ∴a = 1；

　　又若f(x)是奇函数，则¹≡-(2^x+1 +) ∴(+ 1)(2^x+1+2^1-x)≡0　∴a = -1

　　∴a = 1时，f (x)是偶函数; a =-1时,　f (x)是奇函数; a≠±1时, f（x）是非奇非偶函数.