高一数学测试题—平面向量的数量积及运算（6）

高一数学测试题—平面向量的数量积及运算（6）

一、选择题：

1、下列各式中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　 （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb),　（2）a·b=a·b,

　 （3）(a ·b)· c=a · (b ·c),　　　　 （4）(a+b) · c= a·c+b·c

　　　A．（1）（3）　　　　 B．（2）（4）　　 　 C．（1）（4）　　 　 D．以上都不对.

2、在ΔABC中,若( + ) · ( －　)=0,则ΔABC为　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．正三角形　　　　 B．直角三角形　　　C．等腰三角形　 　 D．无法确定

3、若a=b=a－b,则b与a+b的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．30°　　　　 　 B．60°　　　　  　C．150°　　　　 D．120°

4、已知a=1,b=　,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．60°　　　　  B．30°　　　　  　C．135°　　　 　 D．45°

5、若· +  = 0,则ΔABC为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．直角三角形　　　 B．钝角三角形　　　　 C．锐角三角形　　 D．等腰直角三角形

6、设a= 4,b= 3, 夹角为60°, 则a+b等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　 　A．37　　　　　 　 B．13　　　　　 　 C．　　 　　　　 D．　　

7、己知a=1,b=2, a与的夹角为60,c =3a+b, d = λa－b ,若c⊥d,则实数λ的值为（　　）

　 　A． 　　　　　　　 B．　　　　 　　　C．　　　　　　　　D．　　

8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 ①(ab)c－(ca)b=0　　　　　　　　　　  ②a －b< a－b　　　 

　 ③(bc)a－(ca)b不与c垂直　　　　　　  ④(3a+2b)(3a－2b)= 9a²－4b²

　 其中真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　 　A．①②　　　　　　　B．②③　　 　　　　　C．③④　　　　　　　　 D．②④

二、填空题：

9、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.

10、设a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b),  则m=________.

11、a=5, b=3,a－b=7,则a、b的夹角为__________.

12、 a与d=b－关系为________.

三、解答题：

13、已知 a=4,b=5,a+b= ,求：

　　 ①　a　b 　　　　　　②　(2a－b)  (a+3b)

14、四边形ABCD中,  = a,　 = b,　　CD= c,　 DA= d,且a·b=b·c=c·d

　　 =d ·a, 判断四边形ABCD是什么图形？

15、已知：a=5,b=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka－b与　　　　　 a+2b垂直？

16、己知向量a,b均为非零向量,当a+tb取最小值时,

　　 ①求t的值；

　　 ②求证：b与a+tb垂直.

高一数学测试题—参考答案

平面向量的数量积及运算

一、CCADA　　CCD

二、（9）－18e　 （10）－2　 （11）120°　（12）a⊥b

三、（13）解： ①a+b²=（a+b）²=a²+2ab+b²=a²+2a　b+b²，

=.　②（2a－b）·（a+3b）=2a²+5a·b－3b²=2a²+5a·b－3b²=2×4²+5×（－10）－3×5²=－93.　注a²仅仅是一种记号，并不表示平方. a²=a·a=a·acosθ=a²，同理b²=b².　（14）分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d），两边平方后，用a·b=b·c=d·c代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），∴（a+b）²=（c+d）²，即a²+2a·b+b²=c²+2c·d+d²，∵a·b=c·d，∴a²+b²=c²+d²……①同理：a²+d²=b²+c²……②

①，②两式相减得：b²=d²，a²=c²，即b=d，a=c. ∴ABCD为平行四边形.  又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，∵b·（2a）=0 ∴a⊥b，∴四边形ABCD为矩形.

（15）分析：利用两个向量垂直的充要条件是这两个数量积为0，解：

，

.（16）分析：因为a+tb为实数，且a+tb²=（a+tb）²展开以后成为关于t的二次函数.　解①，∴当时，a+tb取得最小值.　②当时，b·（a+tb）b·a+tb·b=b·a+tb²=a·b.　∴b⊥（a+tb）.

注：对a+tb变形，有两种基本的思考方法. 一是通过a+tb²=（a+tb）²进行数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的变形，请同学们试用后一种方法解答本例.