高一数学同步测试（14）—数列的求和

高中学生学科素质训练

　

高一数学同步测试（14）—数列的求和

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.

1．设等差数列的前三项为5，，，其第项到第项的和为，则当最小时应等于　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．6　　　　　 　　B．5　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　D．3

2．数列中，a ₁=－60，且a _n+1 =a_n + 3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（　　）

　　A．495　　　 　　　　B．765　　　　　　　C．3105　　  　　　　D．120　　　

3．化简S _n = n+(n－1)×2+(n－2)×2 ²+……+2×2 ^n－2+2^n－1的结果是　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．2 ⁿ⁺¹+2－n－2　　　　　　　　　　　　　　　 B．2ⁿ⁺¹－n+2

 C．2 ⁿ－n－2　　　　　　　　　　 　　　D．2ⁿ⁺¹－n－2　

4、在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为　　　　　 　　（　　）

　A．　　　　 B．　　　　 C．　　 　　D．1

5．等比数列前项和为，已知（　　）

　A．28　　　　　  B．256　　　　　　　 C．512　　 　　　　　D．1024

6．已知数列的前n项的和S _n = n ²－4n+1，则a ₁+a ₂+……+a ₁₀的值是　　　　（　　）

　　　 A．56　　　　　　　　　B．61　　　　 　　　 C．65　　　　　  D．67

7．等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为　　　 　　　　　　　　　　（　  ）

A．66　　　　　 　 B．64　　　　　　　C．　　 　　　D．

8．己知等比数列的公比q<0，前n项的和S_n ，则S₄ a₅ 与S₅a₄的大小关系为 （　　）

　　A．S₄a₅ =S₅ a₄　　　　　　　　　　　　　　　 B．S ₄a₅ >S ₅a₄　　

C．S₄a₅ <S₅a₄　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不能确定

9．已知：S_n是等比数列的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，则　　 （　　）

　　　 A．成等差数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．成等比数列　　　　

C．既成等差数列又成等比数列　　　　　 D．既不成等差数列又不成等比数列

10．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是　　　　　　　　　  　　　　　　 （　　）

　　　 A．5880　　　　　　　 B．5539　　　　　　　　　　　 C．5208　　　　  D．4877

二、填空题：请把答案填在题中横线上.

11．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍　　　　　　 人.

12．一个有穷等比数列的首项为1，起奇数项的和为85，偶数项和为170，则该数列的公比为　　　　　　 ；项数为　　　　　　  .

13．在等比数列中，，，则　　 ；　　 .

14．设数列，则这个数列的前项和为　　　　　　 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．设是等比数列，求证：成等比数列.

16．数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足： ．

　　　 （Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；

　　　 （Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n.

17．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，

（Ⅰ）问第几年开始获利？

（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：

（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；

（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.

问哪种方案合算.

18．已知数列中对于一切自然数，以为系数的一元二次方程都有实数根满足，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求的前项和．

19．已知数列的前n项和为.若a₁=2，na_n+1=S_n+n(n+1)

　(1)求数列的通项公式a_n

　(2)令

①当n为何正整数值时，T_nT_n+1

②若对一切正整数n，总有T_n≤m,求m的取值范围.

20．设数列的首项为前n项和S_n满足关系式n=2，3，4，…）

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使得，求；

（3）求和.

高一数学（上）同步测试（14）参考答案

一、选择题：BBDAC　 DDBAA

9、解：∵S₃，S₉，S₆成等差数列，∴S₃+S₆=2S₉

若q=1，则S₃=3，由，与题设矛盾，

整理，得q³+q⁶=2q⁹

一、　填空题：

11、；　　12、公比为2，项数为8；　　13、，或；

14、

11、解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：．

12、解：设此数列的公比为，项数为项.由题意得：

可得，，故此数列的公比为2，项数为8.

13、解：∵是等比数列，∴，　又∵，　

∴或　　当时得，∴；

当时得， ∴．

14、解：∵（与无关的常数）　

∴该数列是等比数列，首项为1.当时，该数列的公比为1，则；

当时，该数列的公比不为1，则．

二、　解答题：

15、证明：设的公比为，则

……

………

……

…

∴，∴成等比数列.

16、解：（Ⅰ）由，

两式相减得：，

　　　　 同定义知是首项为1，公比为2的等比数列．

　　　　 （Ⅱ）

　　　　 ∴等式左、右两边分别相加得：

　　　　  

　　　　

　　　　 =

17、解：（Ⅰ)由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为，∴，　　　　　 

获利即为＞0，　∴，

解之得：，

又n∈N， ∴n=3，4，…，17，　∴当n=3时即第3年开始获利；　　　　　　　　　　 

（Ⅱ）（1）年平均收入=

∵≥，当且仅当n=7时取“=”，

∴≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，此时n=7.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2），∴当

总收益为102+8=110万元，此时n=10，比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种.　　　　　　　　　　 

18、解：（1）由题意得：，，代入得：，当时方程无实数根，∴，

由等比数列的定义知：是以为首项，公比为的等比数列；

（2）由（1）知，　　∴，

（3）．

19、解：（1）∵na_n+1=S_n+n(n+1)，∴n=1时a₂=2+2=4

n ≥2时na_n+1 = S_n+n(n+1)　 ①　　　　 （n-1）a_n = S_n-1+(n-1)n②

①- ②得 na_n+1 -（n-1）a_n = a_n +2n，　∴n(a_n+1 - a_n）=2n

∴a_n+1 - a_n=2(n ≥2），　又a₂-a₁=2

∴数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴a_n=2n

（2）①∵S_n==n(n+1)，∴T_n=

令T_nT_n+1， 即>，得n>2， 即n>2时T_n>T_n+1

②由①知当n>2时T_n>T_n+1 又T₁=1<T₂=3/2=T₃

∴T₂、 T₃为{Tn}各项中数值最大的项，∴m≥T₂=3/2

20、解：（1）∵3 ①　 ②

②—①得　

，∴是等比数列；

 （2）∵

　　　即 ；

 （3）∵

当n为偶数时，则　　　　　　　　　　　　　 ；

 当n为奇数时，则

　　　　　　　　  .