高中学生学科素质训练
高一数学同步测试(15)—第三章数列单元测试题
考试时间2小时 满分150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.)
1.数列{}中,前三项依次为
,
,
则
等于 ( )
A.50 B.13 C.24 D.8
2.若a、b、c成等差数列,则函数的图像与x轴的交点的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定
3.差数列中,公差
=1,
=8,则
= ( )
A.40 B.45 C.50 D.55
4.已知数列{a n}的通项公式是,则S n 达到最小值时,n的值是 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
5.在等差数列,则在Sn中最大的负数为 ( )
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
6.已知数列的前n项和
,那么下述结论正确的是 ( )
A.为任意实数时,
是等比数列
B.= -1时,
是等比数列
C.=0时,
是等比数列
D.不可能是等比数列
7.数列中,
是公比为
的等比数列,满足 ( )
,则公比
的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.数列{an}中,已知S1 =1, S2=2 ,且Sn+1-3Sn +2Sn-1 =0(n∈N*),则此数列为 ( )
A.等差数列 B.等比数列
C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列
9.数列{an}的前n项和Sn=5n-3n2(n∈),则有
( )
A.Sn>na1>nan B.Sn<nan<na1
C.nan>Sn>na1 D.nan<Sn<na1
10.已知某数列前项之和为
,且前
个偶数项的和为
,则前
个奇数项的和为 ( )
A. B.
C.
D.
11.已知等差数列与等比数列
的首项均为1,且公差d
1,公比q>0且q
1,则集合
的元素最多有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12、已知,(
),则在数列{
}的前50项中最小项和最大项分别是( )
A. B.
C.
D.
二、填空题:
13.数列的前n项的和Sn =3n2+ n+1,则此数列的通项公式a n=_______.
14.在之间插入n个正数,使这n+2个正数成等比数列,则插入的n个正数之积为
.
15.等差数列中,公差d≠0,a1,a3 ,a9 成等比数列,则
= ____ .
16.当x≠1,0时,1+3x+5x 2 +……+(2n-1)xn-1 = ___________________.
三、解答题:
17.(本题满分12分)已知:等差数列{}中,
=14,前10项和
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将{}中的第2项,第4项,…,第
项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前
项和
.
18.(本题满分12分)有固定项的数列{a n}的前n项的和Sn =2n2 +n,现从中抽去某一项(不包括首项、末项)后,余下的项的平均值是79.
⑴求数列{a n }的通项a n ;
⑵求这个数列的项数,抽取的是第几项?
19.(本题满分12分)设Sn为数列{an}的前n项的和,且Sn = (an -1)(n∈N*), 数列
{bn }的通项公式bn = 4n+5.
①求证:数列{an }是等比数列;
②若d∈{a1 ,a2 ,a3 ,……}∩{b1 ,b2 ,b3 ,……},则称d为数列{an }和{bn }的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn },求数列{dn }的通项公式.
20.(本题满分12分)已知数列中,
,前
项和
与通项
满足
,求通项
的表达式.
21.(本题满分12分)甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践,对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究,得到如下两个不同的信息图:
|
(A)图表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡:
(B)图表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题:
(1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少?
(2)哪一年的规模最大?为什么?
22.(本题满分14分)
对于函数,若存在
成立,则称
的不动点.如果函数
有且只有两个不动点0,2,且
(1)求函数的解析式;
(2)已知各项不为零的数列,求数列通项
;
(3)如果数列满足
,求证:当
时,恒有
成立.
高一数学(上)同步测试(15)参考答案
一、 选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | D | B | B | C | B | B | D | D | B | B | C |
二、填空题
13、
14、
15、
16、
三、17、(Ⅰ)由 ∴
……3分
由 ……………………………6分
(Ⅱ)设新数列为{},由已知,
………………… 9分
……………………………………12分
18、解:⑴由Sn=2n2+2n,得a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,显然a1满足通项,
故数列的通项公式是an=4n-1. ……………………………………4分
∵,
∴是递增的等差数列,公差d=4; ……………………………………6分
⑵设抽取的是第k项(1<k<n),则Sn-ak=79(n-1),
38<n<40,结合n,
有39项,抽取的是第20项.……………………………………12分
19、分析:①利用公式an=Sn-Sn-1代入得出an与an-1之间的关系.②令ak=bm ,再找出k,m之间的联系.
解:①当n=1时,由a1=S1=,得出a1=3.当n≥2时,
…………6分
②由an=3n,得:
因此dn=9×9n—1、=9n. ……………………………………………………12分
评注:本题中的①,由Sn和Sn—1作两式相减,这是处理类似的关系式的重要的方法,特别是对于an+1=pan+q(p,q为常数)也是有效的.②的解法提供了一种求公共项的方法,若两个数列都是等差数列,则它们的公共项也为等差数列,公差为它们的最小公倍数.若都为等比数列,请读者思考公共项是否仍为等比数列
20、解:∵当时,
,
∴由得
----------------------------------2分
∴,两边除以
并整理得,
∴数列为等差数列,公差为2,首项为1.----------------6分
∴,∴
------------------8分
∴当时,
=
-----------------------10分
又不满足上式,∴
---------12分
21、解:(1)设第n年的养鸡场的个数为,平均每个养鸡场出产鸡
万只,
由图(B)可知:=30,
且点
在一直线上,
所以,
…………………………3分
由图(A)可知:且点
在一直线上,
所以,
=
(万只),
(万只)
第二年的养鸡场的个数是26个,全县出产鸡的总只数是31.2万只;…………6分
(2)由(万只),
第二年的养鸡规模最大,共养鸡31.2万只. …………………………12分
22、(本小题满分14分)
解:设得:
由违达定理得:
解得代入表达式
,由
得不止有两个不动点,
………………………………………5分
(2)由题设得
(A)
且
(B)
由(A)(B)得:
解得(舍去)或
;由
,若
这与
矛盾,
,即{
是以
1为首项,
1为公差的等差数列,
; ………………………………………………………………10分
(3)证法(一):运用反证法,假设则由(1)知
∴,而当
这与假设矛盾,故假设不成立,∴.………………………………………14分
证法(二):由
得<0或
结论成立;
若,此时
从而
即数列{}在
时单调递减,由
,可知
上成立.………………………………………………………………………………………14分