高一（上）数学单元同步练习
第二单元 简易逻辑
[重点]
理解逻辑联结词“或”、“且”“非”的意义，并会用它们构造复合命题，把握“若p则q”形式的复合命题，特别是会构造其逆命题、否命题、逆否命题；掌握四种命题及其关系；理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。
[难点]
对逻辑中的“或”、“且”的理解，特别是对一些代数命题真假的判断。
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
（A）语文和数学 （B）sin45°=1
(C)x2+2x-1 （D）集合与元素
2．下列语句中的简单命题是（ ）
（A）
不是有理数
（B）
ABC是等腰直角三角形
（C）3X+2<0 （D）负数的平方是正数
3．已知下列三个命题
① 方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）
（A）①和② （B）①和③ （C）②和③ （D）只有①
4．命题：“方程X2-2=0的解是X=
”中使用逻辑联系词的情况是（ ）
（A）没有使用逻辑联结词 （B）使用了逻辑联结词“且”
（C）使用了逻辑联结词“或” （D）使用了逻辑联结词“非”
5．下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
6．语句
或
的否定是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分
8．已知全集U=R，A
U，BU，如果命题P：
，则命题非P是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（ ）
（A）q为真 （B）q为假
（C）p或q为真 （D）p或q不一定为真
10．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（ ）
（A）p真q假 （B）p假q真
（C）p真q真 （D）p假q假
11．若b>0,则
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
12．下列四个命题
(1)面积相等的两个三角形全等 （2）在实数集内，负数不能开平方 （3）如果m2+n2
，那么
（4）一元二次不等式都可化为一元一次不等式组求解。其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
13．在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则{
}
”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
（A）都真 （B）都假 （C）否命题真 （D）逆否命题真
14．设ABC的三边分别为a,b,c，在命题“若a2+b2
,则 ABC不是直角三角形”及其逆命题中有（ ）
（A）原命题真 （B）逆命题真
（C）两命题都真 （D）两命题都假
15．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
（A）真命题的个数一定是奇数 （B）真命题的个数一定是偶数
（C）真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 （D）上述判断都不正确
17．如果a,b,c都是实数，那么P∶ac<0,是q∶关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）
（A）必要而不充分条件 （B）充要条件
（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
18．下面命题中是真命题的为（ ）
（1）“x+y=5”是“x2-y2-3x+7y=10”的充分条件；（2）“a-b<0”是“a2-b2<0”的充分条件；（3）“a-b<0”是“a2-b2<0”的必要条件；（4）“两个三角形全等”是“两边和夹角对应相等”的充要条件
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①④
19．如果p是q的充分条件，r是q的必要条件，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
20．设⊙O1、⊙O2的半径分别为r1,r2,d=O1O2、, ⊙O1和⊙O2相交的充要条件是（ ）
（A）d<r1+r2
（B）d
（C）
（D）d<r1+r2或d>
二、填空题
1．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
命题“非空集A
中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是
的形式；命题“非空集A
B中的元素是A中元素或B中的元素”是
的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是
的形式。
2．命题“a,b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 。
3．设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的 条件。
4．A：x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a
0)的两实数根；B：x1+x2=-
,则A是B的
条件。
5．设P：ABC是等腰三角形；q：ABC的直角三角形，则“p且q”形式的复合命题是
6．已知命题P：内接于圆的四边形对角互补，则P的否命题q是 。
7．在a=b,a=-b,
中，使a2=b2的充分条件是
8．命题“不等式x2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是
9．如果a、b、c都是实数，那么P：ac<0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根的 条件。
10．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 ；真命题的个数为 ；真命题是 。
三、解答题
1.将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题。
(1) 正数a的平方根不等于0；
(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形。
2.求关于x的二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根的充要条件。
3.用反证法证明：不存在整数m,n,使得m2=n2+1998
4.命题“当a<-b<1时，
”是否正确？为什么？
5.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
6.求证：关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4
7.当a>0,b>0时，用反证法证明
，并指出等号成立的充要条件。
8．设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部，试用反证法证明平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部。
第二单元 简易逻辑
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | D | B | C | B | D | D | C | D | C |
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 答案 | B | A | D | B | A | B | B | D | B | C |
一、填空题
1.p且q,p或q，非p 2.a+b不是偶数，则a、b不都是奇数 3.必要而不充分条件
4.充分而不必要条件 5.ABC是等腰直角三角形 6.不内接于圆的四边形对角不互补 7.a=b,或a=-b或
8.若x
,则x2+x-6
9.充分必要条件 10.0；4;原命题、逆命题、否命题、逆否命题
三、解答题
1．（1）“若a是正数，则a的平方根不等于0”逆命题是：“若a的平方根不等于0，则a是正数”，否命题是“若a不是正数，则它的平方根等于0，”逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”。
（2）“若平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形”，逆命题是：“若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等”，否命题是“若平行四边形的两条对角线相等，则它是矩形逆否命题是：“若平行四边形是矩形，则它的两条对角线相等。”
2．由
即
得
∴
2<m<
3.假设存在整数m、n使得m2=n2+1998，则m2-n2=1998，即(m+n)(m-n)=1998。
当m与n同奇同偶时，m+n，m-n 都是偶数，∴ (m+n)(m-n)能被4整除，但4不能整除1998，此时(m+n)(m-n)
；
当m,n为一奇一偶时，m+n 与m-n 都是奇数，所以(m+n)(m-n)是奇数，此时(m+n)(m-n) 。
∴假设不成立则原命题成立。
4．不正确
a<-b<1, ∴a+b<0且b+1>0
5. (1)充分性：a+b+c=0, ∴a·12+b·1+c=0, ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根
(2)必要性：x=1是方程ax2+bx+c=0的根，∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0综合（1）（2），关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
6.(1)必要性：若ax2-ax+1>0对x
恒成立，由二次函数性质有：
即
∴0<a<4
(2)充分性：若0<a<4,对函数y=ax2+ax+1,其中
且a>0 ∴ax2-ax+1>0(XR)恒成立。
由（1）（2）命题得证。
7．假设
<
,则a+b<2),(
)2<0这与（）2
0，相矛盾，其中等号成立的充要条件是a=b。
8．设六个圆的圆心分别为A1、A2……A6，假设点P同时在它们的内部，依题意得PA1<A1A2,PA2<A1A2
∴ 
A1PA2为A1PA2 的最大内角 ∴A1PA2>60°，同理可证A2PA3>60°，∴……A6PA1>60°A1PA2+……+A6PA3+…+A6PA1>360°,与周角定义相矛盾，故点P不能同时在这六个圆的内部。