高中学生学科素质训练
高一数学同步测试（12）— 等差数列
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．若a≠b,数列a,x1,x
2 ,b和数列a,y1
,y2 ,b都是等差数列，则 
（ ）
A．
B．
C．1 D．
2．在等差数列
中，公差
＝1，
＝8，则
＝ （ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
3．等差数列的前三项为
，则这个数列的通项公式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等差数列
，则在Sn中最大的负数为 （ ）
A．S17 B．S18 C．S19 D．S20
5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 （ ）
A．(－∞,－2) B．[－
, －2] C．(－2, +∞) D．(— ,－2)
6．在等差数列
中，若
，则n的值为
（ ）
A．18 B17． C．16 D．15
7．等差数列中，
等于（ ）
A．－20．5 B．－21．5 C．－1221 D．－20
8．已知某数列前
项之和
为，且前个偶数项的和为
，则前个奇数项的和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ）
A．22 B ．21 C．19 D．18
10．等差数列
中，
≠0，若ｍ＞1且，
，则ｍ的值是
（ ）
A． 10 B． 19 C．20 D．38
二、填空题：请把答案填在题中横线上。
11．已知是等差数列，且
则k=
.
12．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则
.
13．在等差数列中，若
，则
.
14．
是等差数列的前n项和，
(n≥5，
)， =336，则n的值是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．己知为等差数列，
，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？
16．数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。
（1）求数列公差；（2）求前项和
的最大值；（3）当
时，求的最大值。
17．设等差数列的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：
（1）的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；
（2）a 1 +a 2 +a 3 +……+a 14 .
18．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，
（Ⅰ）问第几年开始获利？
（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：
（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；
（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.
问哪种方案合算.
19．已知数列，首项a 1 =3且2a n+1=S n ·S n－1 (n≥2).
（1）求证：{
}是等差数列,并求公差；
（2）求{a n }的通项公式；
（3）数列{an }中是否存在自然数k0,使得当自然数k≥k 0时使不等式a k>a k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.
20．已知等差数列中，公差d＞0，等比数列
中，b1＞0，公比q＞0且q≠1，若
－
＞log
（n＞1，n∈N，
＞0，≠1），求的取值范围.
高一数学上学期测试题（12）参考答案
一、选择题：ABCCB DABDA
二、填空题：11．8； 12．
； 13．24； 14．21.
三、解答题：
15．分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。
解：设新数列为
即3=2+4d，∴
，∴
，∴
即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．
（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；
（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
说明：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为
原数列的第n项是新数列的第n+(n－1)m=(m+1)n－m项．
16．解： （1）
， 
，
，
∴ 
为整数， ∴ 
.
（2）
=23
=－2
=－
∴当
时最大=78
（3）
时，0
，故最大值为12.
17．分析：通过解方程组易求得首项和公差，再求an及Sn；解答②的关键在于判断项的变化趋势。
解：设等差数列首项为a1，公差为d，依题意得
解得：a1=－20,d=3。
⑴
；
⑵
∴
.
18．解：（Ⅰ）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 设纯收入与年数的关系为f(n)
∴
获利即为f(n)＞0
∴
解之得：
又n∈N，∴n=3，4，…，17
∴当n=3时即第3年开始获利
（Ⅱ）（1）年平均收入=
∵
≥
，当且仅当n=7时取“=”
∴
≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，此时n=7 ；
（2）
∴当
总收益为102+8=110万元，此时n=10
比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种。
19．分析：证
为等差数列，即证
（d是常数）。
解：⑴由已知当
⑵
⑶
20．解：由已知不等式，得
， ∵n—1＞0 ∴
当0＜＜1时，
， ∵d＞0， ∴
若0＜q＜1， 则
， ∴
； 若q＞1，则
， ∴0＜＜1
当＞1时， 
， ∵d＞0， ∴
若0＜q＜1时， 则， ∴＞1 ； 若q＞1时，则， ∴。
综上：若0＜q＜1时， 或 ＞1； q＞1时，0＜＜1 或 。