基础测试
（一）选择题（第题4分，共24分）
1．计算
等于（ ）．
（A）0 （B）
（C）2
（D）2 
【提示】
＝（
）＋（
）＝
＝．
【答案】（B）．
【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法．
2．若向量
＝（3，2），
＝（0，－1），则向量2－的坐标是（ ）．
（A）（3，－4） （B）（－3，4） （C）（3，4） （D）（－3，－4）
【提示】2－＝2（0，－1）－（3，2）＝（－3，－4）．
【答案】（D）．
【点评】本题考查向量的坐标运算．
3．下列各组向量中，共线的是（ ）．
（A）＝（－2，3），＝（4，6）
（B）＝（1，－2），＝（7，14）
（C）＝（2，3），＝（3，2）
（D）＝（－3，2），＝（6，－4）
【提示】若＝（x，y），＝（x2，y2），则与共线的充要条件是x1 y2－x2 y1 ＝0．这里（－3）×（－4）－2×6＝0．故选（D）．
【答案】（D）．
【点评】
本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件．
对于（A），（－2）×6－3×4＝－24≠0，排除（A）；
对于（B），1×14－（－2）×7＝28≠0，排除（B）；
对于（C），2×2－3×3＝－5≠0，排除（C）．
4．平面上有三个点A（1，3），B（2，2），C（7，x），若∠ABC ＝90°，则x的值为（ ）．
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
【提示】
∠ABC ＝90°，即
⊥
，因＝（1，－1），＝（5，x －2），得1×5＋（－1）×（x －2）＝0，解出x ＝7．
【答案】（C）．
【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件．
5．设s、t为非零实数，与均为单位向量时，若s＋t＝t－s，则与的夹角q 的大小为（ ）．
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
【提示】
由s＋t＝t－s，得s22＋t22＋2 st· ＝t22＋s22－2 st．
又、均为单位向量，＝1，＝1，
即2＝1，2＝1．
∴ 4 s
t ·＝0，有·cos q ＝0，得cos q ＝0．
∴ q ＝90°．
【答案】（D）．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律．
6．如图，D、C、B三点在地面同一条直线上，从C、D两点测得A点仰角分别为a、b，
（a ＞b），则A点距地面高度AB等于（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
【提示】在△ACD由正弦定理，得AC ＝
，再在直角三角形中求AB．
【答案】（A）．
【点评】本题主要考查应用正弦定理解三角形的有关知识．
（二）填空题（每题4分，共20分）
1．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－
的坐标是_________．
【提示】
2－
＝2（1，2）－（3，1）
＝（2，4）－（
，）
＝（2－，4－）
＝（，3）．
【答案】（，3）．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算．
2．已知A（－1，2），B（2，4），C（4，－3），D（x ，1），若与
共线，则
的值等于________．
【提示】由与共线，先得x ＝10，再求的长．
【答案】
．
【点评】本题考查向量的模、向量的坐标运算及向量共线的充要条件．
3．已知点P1（1，2），P2（－2，1），直线P1P2与x轴相交于点P，则点P分
所成的比l 的值为_____．
【提示】
由直线P1P2与x轴相交于点P，得点P的纵坐标为0，于是0＝
，即l ＝－2．
【答案】－2．
【点评】本题考查线段的定比分点的坐标公式．
4．将点A（2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．
【提示】由已知，x ＝2，y ＝4，h ＝－5，k ＝－2，代入平移公式
，得x′＝－3，y′＝2．
【答案】（－3，2）．
【点评】本题考查点的平移公式．主要应分清平移前后点的坐标．
5．在△ABC中，已知a ＝2，b ＝2
，c ＝
＋．则这个三角形的最小角的度数是___________．
【提示】
先由已知条件判断△ABC三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角．由于c ＞b ＞a，则a对的角A为最小．利用余弦定理，得
cos A ＝
＝
＝
，
∴ A ＝30°．
【答案】30°．
【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题．
（三）解答题（每题14分，共56分）
1．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量2＋的模；
（2）试求向量与的夹角；
（3）试求与垂直的单位向量的坐标．
【提示】
、的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出、的坐标后，可得2＋的坐标，（1）可解，对于（2），可先求、的值，代入 cos q ＝
，即可；对于（3），设所求向量的坐标为（x，y），根据题意，可得关于x、y的二元方程组，解出x，y．
【答案】
（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），
＝（2－1，5－0）＝（1，5）．
∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ 2＋＝
＝
．
（2）∵ ＝
＝．
＝
＝
，
·＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos q ＝＝
＝
．
（3）设所求向量为
＝（x，y），则
x2＋y2＝1． ①
又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得
2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得
或
∴ （
，－
）或（－，）即为所求．
【点评】
本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力．
2．如图，已知＝
＝，＝，且＝．
（1）用，表示
，
，
；
（2）求·．
【提示】
由＝，可判定四边形ABCD为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求，，．又＝＋．＝－，＝利用数量积的运算性质及已知条件＝．可求·．
【答案】
（1）∵ ＝，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ ＝＝．
∴ ＝＋＝＋，＝－＝－，
而 ＝，＝－，
∴ ＝＋，＝－．
（2）∵ ＝＋，＝－，
∴ ·＝（＋）（－）
＝2－2
＝2－2
＝0．
【点评】
本题考查平面向量的加减法，基本定理、数量积及运算律．解题时注意结合平面图形的几何特征，寻求向量之间的联系．由题目的条件及结论可知，四边形ABCD为菱形．
3．一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小时的速度航行，一灯塔M在船北偏东15°，经40分钟后，灯塔在船北偏东45°．求船与灯塔原来的距离．
【提示】
先画船航行的示意图，将题目的已知条件分别与三角形内的边、角对应起来，从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决．
【答案】
如图，设船原来的位置为A，40分钟后的位置为B，则AB ＝36×
＝24（海里）．
在△ABM中，∠BAM ＝30°＋15°＝45°．
∠ABM ＝180°－（45°＋30°）＝105°，
∴ ∠AMB ＝180°－（∠ABM ＋∠BAM）＝30°．
由正弦定理，得
AM ＝
· sin ∠ABM
＝
· sin 105°
＝12（＋）（海里）．
答：船与灯塔原来的距离为12（＋）海里．
【点评】
本题考查解斜三角形的应用问题．关键是画出示意图（这里必须弄清方位角的概念），建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题．
4．在□ABCD中，对角线AC ＝
，BD ＝
，周长为18，求这个平行四边形的面积．
【提示一】
要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角．由周长为18，知两条邻边的和为9，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角．
【提示二】在△AOB和△BOC中利用余弦定理求解．
【解法一】如图，在□ABCD中，设AB ＝x，则BC ＝9－x，
在△ABC中，据余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2 AB BC cos ABC．
在△ABD中，据余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2 AB · AD cos DAB．
由已知 AC
＝，BD ＝，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，BC ＝AD．
故角 65＝x 2 ＋(9－x) 2 －2 AB BC cos ABC，
17＝x 2 ＋（9－x 2）＋2 AB BC cos ABC，
二式相加，得
82＝4 x2－36 x ＋162
即 x2－9 x ＋20＝0
解得 x ＝4，或x ＝5，
在△ADB中，由余弦定理，得
cos ∠DAB ＝
＝
＝
．
∴ sin
∠DAB ＝
．
∴ sin □ABCD ＝AB · AD sin DAB
＝4×5×
＝16．
【解法二】在△AOB和△BOC中，由余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2 OA · OB cos ∠AOB，
BC2＝OC2＋OB2－2 OC · OB cos ∠BOC，
可设 AB ＝x，则BC ＝9－x，
而OA ＝OC ＝AC，OB ＝BD，∠AOB ＋∠BOC ＝180°，
代入后化简，可求得
x ＝4或x ＝5．
在△ADB中，由余弦定理，得
cos ∠DAB ＝
＝
＝．
∴ sin
∠DAB ＝．
∴ sin □ABCD ＝AB · AD sin DAB
＝4×5×
＝16．
【点评】本题考查余弦定理的灵活运用．
3．如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条出路，走向是南偏东40°，在C处测得距C处31千米的公路上的B处有一人正沿着公路向城A走去．走20千米后到达D处．测得CD ＝21千米，这时此人距城A多少千米．
【提示】
要求AD的长，在△ACD中，应用正弦定理，只需求∠ACD，而∠CDB是△ACD的一个外角，∠CAD已知，故只需求∠CDB，在△CDB中，已知两边，可利用余弦定理求角．
【答案】
由已知，在△CDB中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，据余弦定理，有
cos ∠CDB ＝
＝－
．
∴ sin ∠CDB ＝
＝
．
在△ACD中，∠CAD ＝20°＋40°＝60°，
∴ ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°．
∴ sin ∠ACD ＝sin（∠CDB －60°）
＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60°
＝×－（－）×
＝
．
由正弦定理，得
AD ＝
· sin ∠ACD ＝15（千米）．
答：此人距A城15千米．
【点评】
本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用．解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决．
4．已知平面向量＝（7，9），若向量
、
满足2＋＝，⊥，＝，求、的坐标．
【提示】
设＝（x1，x2），＝（y1，y2），由已知，可以得到含有x1，x2，y1，y2的四个关系式，建立方程组，解之即可．
【答案】
设＝（x1，x2），＝（y1，y2）．
由2＋＝，得
2（x1，x2）＋（y1，y2）＝（7，9），
即
由⊥，得x1y1＋x2y2＝0． ③
由 ＝，得 x12＋x22＝y12＋y22＝0． ④
将（1）式化为 y1＝7－2 x1，
（2）式化为 y2＝9－2 x2，
代入③式，得 x1（7－2 x1）＋x2（9－2 x2）＝0，
即 2（x12＋x22）＝7 x1＋9 x2， ⑤
代入④式，得 x12＋x22＝(7－2 x1) 2 ＋(9－2 x2) 2，
即 3（x12＋x22）＝28 x1＋36 x2－130． ⑥
由⑤、⑥，得
解之得，
或
分别代入（1）、（2），得
或
∴ ＝（
，
），＝（－，）．
或 ＝（1，5），＝（5，－1）即为所求．
【点评】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，两点间距离公式及运算能力．