同步测控优化训练B卷（指数函数与对数函数）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（ ）
A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23}
C.A
{0,1,2,log23} D.不存在满足条件集合
考查映射概念、指数、对数运算.
【解析】 A中每个元素在集合中都有象，令2x=0，方程无解.
分别令2x=1,2,3,4,解得x=0,1,log23,2.
【答案】 C
2.设P={yy=x2,x∈R},Q={yy=2x,x∈R},则（ ）
A.Q=P B.Q
P C.P∩Q={2,4} D.P∩Q={(2,4)}
考查集合间关系及函数值域.
【解析】 P=［0,+∞),Q=(0,＋∞).
【答案】 B
3.已知函数f(x)=loga(2－ax)在［0，1］上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，+∞)
考查对数函数定义域及单调性.
【解析】 由y=loga(2－ax)单调性及2－ax>0对任意x∈［0,1］恒成立，可求得1<a<2.
【答案】 B
4.已知函数f(x)=
时f［f(
)］的值是（ ）
A.9 B.
C.－9 D.－
考查对分段函数对应法则的理解.
【解析】 f()=log2=－2,
f(－2)=3－2=
【答案】 B
5.若函数f(x)=log2(x－1)+log2(x+2)的反函数为g(x),则g(2)等于（ ）
A.1 B.－3 C.2 D.2或－3
考查对数函数及互为反函数间的函数关系.
【解析】 依题意
x=2
【答案】 C
6.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）
【解析】 ∵f(3)=a3>0,∴g(3)=loga3<0,∴0<a<1
【答案】 C
7.若函数y=log
(2－log2x)的值域是（－∞,0），则其定义域是（ ）
A.x<2 B.0<x<2 C.0<x<4 D.2<x<4
考查对数函数定义域、值域.
【解】 令2－log2x=u,由题意知u>1,log2x<1,故0<x<2.
【答案】 B
8.若定义运算a*b=
，则函数f(x)=3x*3－x的值域是（ ）
A.(0,
B.［1,+
C.(0,+∞) D.(－∞,+∞)
考查函数值域及灵活运用能力.
【解析】 若3x≥3－x,即x≥0,则f(x)=3－x
若3x<3－x,即x<0,则f(x)=3x
故值域为（0，1］
【答案】 A
9.若x0是方程2x=
的解，则x0∈（ ）
A.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4) C.(0.5,0.7) D.(0.9,1)
考查指数函数图象性质及估算能力.
【解析】 画出y=2x，y=图象.
∵20.1<20.2<1,而
>
=5
排除A，同理排除B
20.5=
≈1.414,20.7>20.5,
而
=2,
≈1.428
21>20.9>20.5≈1.414,而
≈1.11
【答案】 C
10.今有一组实验数据如下：
| t | 1.99 | 3.0 | 4.0 | 5.1 | 6.12 |
| v | 1.5 | 4.04 | 7.5 | 12 | 18.01 |
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A.v=log2t B.v=logt C.v=
D.v=2t－2
考查构建数学模型的能力，具开放性.
【解析】 五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，
代入验证可知v=最接近.
【答案】 C
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.方程log3(1－2·3x)=2x+1的解x=______.
考查对数与指数运算.
【解析】 32x+1=1－2·3x，即3(3x)2+2·3x－1=0
解得3x=
,故x=－1
【答案】 －1
12.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大
，则a的值为______.
考查指数函数的单调性及解决问题的能力.
【解析】 当a>1时，f(x)为增函数，a2－a=,得a=
当0<a<1时，f(x)=ax在［1，2］上为减函数，
有a－a2=a=
,
故a=或
【答案】 或
13.设函数f(x)=
，则满足f(x)=的值为______.
考查分段函数对应法则理解及对数运算.
【解析】 若x∈(－∞,1),有2－x=,∴x=2，但2
(－∞,;
若x∈（1,+∞），有log81x=
∴x=3符合题意
【答案】 3
14.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为______元.
考查函数应用及解决实际问题的能力.
【解析】 若其稿费为4000，则应纳税3200×14%=448>420
故稿费应小于4000元，设为x元
则(x－800)14%=420,解得x=3800(元)
【答案】 3800
三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分8分）已知函数f(x)=+lg
.
（1）求此函数的定义域，并判断函数单调性.
（2）解关于x的不等式f［x(x－)］<.
【解】 （1）f(x)=+lg=+lg(－1+
)
要使f(x)有意义，即>0,∴f(x)的定义域为－1<x<1
设－1<x1<x2<1,则f(x1)－f(x2)=lg(－1+
)－lg(－1+
)
∵－1<x1<x2<1,∴0<x1+1<x2+1
∴－1+>－1+
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在(－1,1)上为减函数
（2）∵f(0)=,∴f［x(x－)］<=f(0)
由（1）知f(x)在(－1,1)上为奇函数
∴
,解得：
即不等式解集为(
,0)∪(,
)
16.(本小题满分10分)已知y=log4(2x+3－x2).
（1）求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
【解】 （1）由2x+3－x2>0,解得－1<x<3
∴f(x)定义域为{x－1<x<3}
(2)令u=2x+3－x2，则u>0,y=log4u
由于u=2x+3－x2=－(x－1)2+4
再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,
又y=log4u为(0,+∞)增函数，
故该函数单调递增区间为（－1，1］，减区间为［1，3）
（3）∵u=2x+3－x2=－(x－1)2+4≤4
∴y=log4u≤log44=1
故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.
17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2x－x2(x≥0)，问是否存在这样的正数a、b，当x∈［a,b］时g(x)=f(x),且g(x)值域［
,
］？若存在，求出所有a、b之值，若不存在，请说明理由.
考查函数知识综合运用，分类讨论思想.
【解】 分三种情况讨论:
①当0<a<b≤1时，那么>1,而当x≥0时，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)
②当0<a<1<b时，则g(x)最大值为g(1)=f(1)=1,
即=1,得a=1与0<a<1<b矛盾
③当1≤a<b时，∵x≥1,f(x)为减函数，
则g(x)=f(x)=2x－x2,于是有
即
∵1≤a<b,∴a=1,b=
18.（本小题满分12分）若p∈R,且当log2p<2时，不等式px+1>2x－p恒成立,试求x的取值范围.
考查对数基本概念及分类讨论思想.
【解】 由log2p<2得－2<log2p<2,则<p<4
由不等式px+1>2x－p,得p(x+1)>2x－1
①当x>－1时，
<p,即
,解得－1<x≤
②当x<－1时，>p,即
,解得－
≤x<－1
∴x的取值范围为（－1，
∪［－,－
19.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？
考查函数应用及分析解决问题的能力.
【解】 （1）依题意，得y=
(2)设第二次服药时，在第一次服药后t1小时
则－
t1+
=4,t1=3
因而第二次服药应在10:00
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有－t2+－(t2－3)+=4
解得：t2=7（小时）
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>8)，则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和
－(t3－3)++［－(t3－7)+］=4
解得t3=10.5小时
故第四次服药应在17:30.