| 一、复习要点
三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法．
三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．
二、例题讲解
例1（1）如果α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（ ）．
Ａ．α＜β
Ｂ．β＜α
Ｃ．α＋β＜（3／2）π
Ｄ．α＋β＞（3／2）π
（1992年高考文科试题）
（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范围是（ ）．
Ａ．［－1，－（1／2）］
Ｂ．［－（1／2），0］
Ｃ．［0，（1／2）］
Ｄ．［（1／22），1］
（1997年高考理科试题）
（3）已知点P（ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，则在［0，2π）内α的取值范围是________. （1998年高考题）
讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法： | 
| | 图3-1 | 在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C．
若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法：
∵ α，β∈（（π／2），π），
tgα＜ctgβ ｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞1
1－ｔｇαｔｇβ＜0（tgα＋tgβ）／tg（α＋β））＜0，
∴ ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．
∵ ｔｇα＋ｔｇβ＜0，
∴ ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）．
故选C．
若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得
ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）．
∵ α，β∈（（π／2），π），∴ （3／2）π－β∈（（π／2），π）．
又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数，
∴ α＜（3／2）π－β，故选Ｃ．
此题还可以用极限思想做推断：
当（π／2）＜α＜π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tgα→－∞，ctgβ→0．
∴总有tgα＜ctgβ成立．可见A、B、D均不成立，故选C．
（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，所以原不等式等价于 | 1－ｘ≤ｘ ｘ≥（1／2） | （1／2）≤ｘ≤1． | | －1≤ｘ≤1， | 0≤ｘ≤1 | | －1≤1－ｘ≤1 | 故而选Ｄ． | 
| | 图3-2 | 若能注意到，在ｘ轴上x与1-x两点关于（1／2）点对称，则由图象立即看出x的取值范围是（1／2）≤ｘ≤1．
若想利用特殊值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．
（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下．
点P（sinα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限 | 
| ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0， |
| ｓｉｎα＞ｃｏｓα， | ① | | ｔｇα＞0 | ｔｇα＞0． | ② | 在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的α角为第一或第三象限中的角． | 
| | 图3-3 | 故取以上两个α的变化范围所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范围是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．
例2 把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（ ）．
Ａ．ｘ＝（π／2）
Ｂ．ｘ＝（π／4）
Ｃ．ｘ＝－（π／8）
Ｄ．ｘ＝（5π／8）
讲解：从题目的条件可以发现这样两个信息：第一，此函数的周期为π；第二，平移后函数图象过原点．由前者得ω＝2；图象向右平移（π／8）后对应的函数解析式为ｙ＝ｓｉｎ［2（ｘ－（π／8））＋φ］，由其过原点知ｓｉｎ（φ－（π／4））＝0，又φ为锐角，∴ φ＝（π／4）．
至此可得原函数为ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））．再根据此类函数图象的性质：与平衡位置的交点为对称中心，过顶点作x轴的垂线即为对称轴．经检验当ｘ＝（5π／8）时此函数取最小值，故应选Ｄ．
例3 （1）若函数ｙ＝（1＋ａｓｉｎｘ／2－ｓｉｎｘ）的值域为［0，2］，则ａ的值为_____．
（2）设直线ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ－1＝0?（0＜θ＜（π／2））．①求此直线的倾角φ；②求ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ ｓｉｎφ的值域．
讲解：（1）对于此类结构式，一定是用ｓｉｎｘ的范围来确定ｙ的范围，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立思考）；二是将ｓｉｎｘ分离出来，用ｓｉｎｘ来反控ｙ的范围：
ｓｉｎｘ＝（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ），∴ ｜（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ）｜≤1，平方并化简，得3ｙ２－2（ａ＋2）ｙ＋1－ａ２≤0．由条件知此不等式的解为［0，2］，由韦达定理得ａ＝1．
（2）①由题意知ｔｇφ＝－（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）＝－ｃｔｇθ＝ｔｇ（（π／2）＋θ），∵ 0＜θ＜（π／2），∴ φ＝（π／2）＋θ．
②∵ ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ
＝（ｓｉｎ２2φ／－2ｓｉｎ2φｓｉｎφ）＋ｓｉｎφ
＝（－ｓｉｎ2φ／2ｓｉｎφ）＋sinφ＝ｓｉｎφ－ｃｏｓφ
＝2ｓｉｎ（φ－（π／6））＝2ｓｉｎ（θ＋（π／3）），
而θ＋（π／3）∈（（π／3），（5π／6）），∴ ｆ（φ）∈（1，2］．
例4 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ为其三个内角，设ｙ＝2＋ｃｏｓＣｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ2Ｃ．
（1）若任意交换Ａ、Ｂ、Ｃ的位置，ｙ的值是否发生变化?证明之；
（2）求ｙ的最大值．
讲解：（1）ｙ的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使Ａ、Ｂ对称，可将ｃｏｓＣ换为－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）：ｙ＝2－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ２Ｃ＝2－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ）－（1＋ｃｏｓ2Ｃ／2）＝（3／2）－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ＋ｃｏｓ2Ｃ），故y的值不发生变化．
（2）由于变量较多，故应考虑减少变元．方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元．对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元．这时又有两种思维角度：
若运用函数思想，将ｙ视为ｃｏｓＣ的二次函数，用配方法ｙ＝－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＋2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）．当－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＝0且ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）＝1同时成立时ｙ取得最大值．这时有Ａ＝Ｂ且Ｃ＝（π／3），即△ＡＢＣ为正三角形时ｙ取最大值（9／4）．
若运用方程思想，将原式变形为ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｙ－2＝0，视此式为关于ｃｏｓＣ的一元二次方程，则Δ＝ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）－4ｙ＋8≥0，即ｙ≤2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）≤（9／4），取等号的条件与上面相同．
从本题可以看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和思考问题，这是提高解题能力的有效途径．
三、专题训练
1．函数ｙ＝9－8ｃｏｓｘ－2ｓｉｎ２ｘ的最大值是（ ）．
Ａ．17
Ｂ．－1
Ｃ．1
Ｄ．3
2．若f（x）·ｓｉｎｘ是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）.
A．ｓｉｎｘ
Ｂ．ｃｏｓｘ
Ｃ．ｓｉｎ2ｘ
Ｄ．ｃｏｓ2x
3．若ｓｉｎα＞ｔｇα＞ｃｔｇα（-（π／2）＜α＜（π／2）），则α∈（ ）.
A．（-（π／2），-（π／4））
B．（-（π／4），0）
C．（0，（π／4））
D．（（π／4），（π／2））
4．设y=f（x）的定义域为［－1，1］，其反函数y=f－１（x）的图象如图3－4．对于f（x）解析式的判定有如下四种：
①f（x）=arcsinx;
②f（x）=arcsinx+（π／2）;
③f（x）=arccos（-x）；
④f（x）=π-arccosx.
其中错误判定的个数是（ ）. | 
| | 图3－4 | A．0
B．1
C．2
D．3
5．把函数ｙ＝2ｓｉｎ（（1／2）ｘ＋（π／6））的图象向ｙ轴均匀压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原来的（1／3）．则图象所对应函数的最小正周期变为________．
6．当ｘ∈（π，（3／2）π）时，ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝________．
7．已知点P（sinx，cosx），角θ以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tgθ的值域是________.
8．设α为锐角，试比较ｓｉｎ2α与ｓｉｎ（α＋（π／4））的大小．
9．已知θ∈（0，2π），且ｓｉｎθｃｏｓ2θ＞0，求θ的取值范围．
10．设0≤θ≤（π／2），ｆ（θ）＝ ｃｏｓθ＋ ｓｉｎθ，ｇ（θ）＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．
（1）当θ为何值时，ｆ（θ）有最大值?
（2）若ｇ（θ）＝－（8／5），求ｆ（θ）、ｓｉｎθ的值． |