平面向量的数量积的坐标表示

第十三教时

教材：平面向量的数量积的坐标表示

目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：

一、复习：

1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示

2．平面向量数量积的运算

3．两平面向量垂直的充要条件

4．两向量共线的坐标表示：

二、  课题：平面两向量数量积的坐标表示

1．设a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

　 则：i×i = 1，j×j = 1，i×j = j×i = 0

2．推导坐标公式：

　 ∵a = x₁i + y₁j,　b = x₂i + y₂j

　 ∴a×b = (x₁i + y₁j )(x₂i + y₂j) = x₁x₂i² + x₁y₁i×j + x₂y₁i×j + y₁y₂j²

　　　　= x₁x₂ + y₁y₂

从而获得公式：a×b = x₁x₂ + y₁y₂

例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a×b

　解：a×b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2

3．长度、角度、垂直的坐标表示

　 1°a = (x, y)　Þ　a² = x² + y² Þ　a =

　　　　 2°若A = (x₁, y₁)，B = (x₂, y₂)，则=

　　　　 3° cosq =

　　　　 4°∵a^b Û a×b = 0 即x₁x₂ + y₁y₂ = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

4．例二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。

　　 证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1),  = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)

　　　　 ∴×=1×(-3) + 1×3 = 0　 ∴^

　　　　 ∴△ABC是直角三角形

　三、补充例题：处理《教学与测试》P153　第73课

例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x×a = 9与x×b = -4的向量x。

　　　解：设x = (t, s)，

Þ

　　　　  由x×a = 9 Þ 3t - s = 9　　　 t = 2

　　　　  由x×a = 9 Þ 3t - s = 9　　　 s = -3

　　　　  ∴x = (2, -3)

例四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB = 90°，

　　　求点B和向量的坐标。

　　　解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2)

　　　　  ∵^　 ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x² + y² -5x - 2y = 0

　　　　 又∵ = 　 ∴x² + y² = (x-5)² + (y-2)²即：10x + 4y = 29

　　　　 由

　　　　 ∴B点坐标或；=或

例五、在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

　　　求k值。

　解：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0　∴k =　

　　　当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)

　　　　　　　　　 ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0　 ∴k =　

　　　当C = 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0　 ∴k =

四、小结：两向量数量积的坐标表示

　　　　  长度、夹角、垂直的坐标表示

五、作业： P121　练习及习题5.7　

　　　　　　 《教学与测试》P154　 5、6、7、8，思考题