提高测试（二）
（本试卷共10个题，每题10分）
1．求函数y＝
的定义域．
【略解】x的取值范围，应满足
x＜－3且x≠－1－
．
【点评】
函数的定义域是函数的基本性质之一，应掌握求函数定义域的方法，实际上就是解x所满足的不等式组．
2．当k ∈（0，
）时，函数y＝
的图象与函数y＝kx的图象有多少个不同的交点？
【略解】先作出函数y＝的图象．
．
函数y＝kx，k ∈（0，）的图象是一条直线，两个函数的图象只可能在第一象限内相交．
当直线y＝kx，k ∈（0，）与函数y＝在x＞1上的部分相切时，方程
＝kx应有重根，即二次方程的判别式为0，D＝1－4 k2＝0，得k＝．
所以，当0＜k ＜时，两个图象在x＞1时相交于两个点．
故两个函数的图象有3个交点．
【点评】本题充分体现了数形结合的数学思想方法．在利用图象解题时，要注意用代数的方法解决相交和相切时的数量关系．
3．解方程
（
） x＋（
） x＝10．
【略解】 ∵ 
＝1，
∴ 原方程可以改写为：（） x＋（
） x＝10，
设y＝ （） x，则y＋
＝10，解得y＝5±2
，
于是由（） x＝5±2，得x＝±2，
∴ 原方程的解为：x＝±2．
【点评】
本题的关键是注意到和互为倒数，利用整体换元的思想使问题易于解决．
4．已知函数f（x）＝
，若方程f（x）＝k 无实根，则实数k 的取值范围是________．
【略解】函数f（x）的图象如下图所示，方程f（x）＝k 的根，即f（x）的图象与直线g＝k 交点的横坐标，由图可见，当k ＜lg
时，f（x）的图象与直线y＝k无交点，即方程f（x）＝k 无实根，故k 的取值范围是（－∞，lg）．
5．对于函数f（x）＝loga x（其中a ＞0，a ≠1），若f（3）－f（2）＝1，则
f（3.75）＋f（0.9）的值等于_________．
【略解】由f（3）－f（2）＝loga3－loga 2＝loga＝1，∴ a＝．
∴ f（3.75）＋f（0.9）＝log a3.75×0.9＝log a3.375＝loga1.53＝3 loga 1.5＝3．
6．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1＋x2）＝_____．
【略解】由f（x1）＝f（x2），将a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（x1－x2）＝0
∵ x1 ≠x2，
∴ a（x1＋x2）＋b＝0．
∴ f（x1＋x2）＝ f（－
）＝
＝0．
7．若函数f （x）＝25－ x＋1 －4×5－ x＋1 －m 的图象与x轴有交点，则实数m 的取值范围是_____．
【略解】f（x）可看作关于5－ x＋1 ＝t 的二次函数（t ≤1）t 2 －4 t－m，为使它的图象与x轴有交点，只须Dt ≥0，而Dt＝16＋4 m ≥0，故m的取值范围是m ≥－4．
8．设函数f（x）＝
，函数g（x）与y＝f －1（x＋1）的图象关于直线y＝x对称，那么g（3）＝_______．
【略解】x＝f －1 （ y ）＝
，x＝g－1 （y）＝f －1 （y＋1）＝
，y＝g（x）＝
，
故g（3）＝
．
9．定义在自然数集上的函数f（x），x∈N，f（1）＝1，f（m＋n）＝f（m）＋f（n）＋m · n，m，n ∈N．求f（x）．
【略解】令m＝1，代入上式，得f（1＋n）＝f（1）＋f（n）＋n＝f（n）＋（n＋1），
即 f（n＋1）－f（n）＝n＋1．
取n＝1，2，3，…，x－1，得
f（2）－f（1）＝2
f（3）－f（2）＝3
……
f（x）－f（x－1）＝x＋1．
以上各式相加，得f（x）－f（1）＝2＋3＋…＋（x＋1）．
∴ f（x）＝
（x∈N）．
10．设f（x）＝3 x－2 f（
），x≠0．求f（x）．
【略解】令y＝，则x＝，代入方程，
消去
，得f（y）＝
．
故 f（x）＝
．