第三章《数列》提高测试题(一)1

提高测试（一）

（90分钟，满分100分）

（一）选择题（每小题4分，共32分）

1．某工厂去年产值是a，计划在今后五年内，每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年末这个工厂的总产值是（　　）．

（A）1.1⁴a　　（B）1.1⁵a　　（C）10×（1.1⁵－1）a　 （D）11×（1.1⁵－1）a

【提示】今年的产值为a（1＋），公比q＝1＋．故S₅＝1.1 a（1.1⁵－1）/1.1－1．

【答案】（D）．

2．若数列｛a_n｝的前n 项和S_n＝aⁿ－1且a ≠0，则｛a_n｝是（　　）．

（A）等比数列

（B）不是等比数列

（C）可以是等比数列，也可以是等差数列

（D）可是等比数列，但不可能是等差数列

【提示】由S_n＝aⁿ－1（a ≠0）可得a_n＝（a－1）·a^n－1（n＝1，2，…）．∴　当a＝1时，a_n＝0，是等差数列，当a ≠1且a ≠0时，｛a_n｝是等比数列．

【答案】（C）．

3．两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中相同的数之和是（　　）．

（A）1196　　（B）1391　　（C）1393　　（D）1169

【提示】易知，相同项2，17，32，…，197成等差数列．故a_n＝2＋（n－1）·15＝197，∴　n＝14，从而可求S₁₄ ．

【答案】（C）．

4．已知等差数列｛a_n｝中，a_n ≠0，a_n－1－a_n²＋a_n＋1＝0，S_{2 n－1}＝38，则n 等于（　　）．

（A）38　　（B）20　　（C）19　　（D）10

【提示】由题设知2 a_n－a_n²＝0，∴　a_n＝2，从而（2 n－1）·2＝38．

【答案】（D）．

5．已知｛a_n｝是各项为正数的等比数列，a₂a₄＋2 a₃a₅＋a₄a₆＝25，那么a₃＋a₅ 为（　　）．

（A）5　　（B）10　　（C）15　　（D）20

【提示】由于a₂·a₄＝a₃²，a₄a₆＝a₅² ．故已知等式化为 （a₃＋a₅）²＝25．

【答案】（A）．

6．已知数列｛a_n｝的前n 项和S_n＝（－1）ⁿ（2 n－1）．则a₁₀＋a₁₁ 等于（　　）．

（A）4　　（B）－4　　（C）2　　（D）－2

【提示】a₁₀＋a₁₁＝S₁₁－S₉ ．

【答案】（B）．

7．首项为，第10项开始为比1大的项，则此等差数列的公差取值范围是（　　）．

（A）d＞　　　　 （B）d ＜

（C）≤d ＜　　（D）＜d≤

【提示】此问题等价于a₁₀＞1且a₉≤1．

【答案】（D）．

8．在等比数列｛a_n｝中，a₇·a₁₁＝6，a₄＋a₁₄＝5．则 等于（　　）．

（A）或　　　　 （B）或－

（C）　　　　　　  （D）

【提示】由已知得q¹⁰ －5 q⁵＋＝0解得q⁵＝±或q⁵＝±．而＝q¹⁰ ．

【答案】（A）．

（二）填空题（每小题5分，共30分）

9．已知数列｛a_n｝、｛b_n｝都是等差数列，a₁＝0，b₁＝－4 ．用S_k、S′_k 分别表示数列｛a_n｝、｛b_n｝的前k 项和，若S_k＋S′_k＝0，则a_k＋b_k＝___________．

【提示】S_k＝＝，S′_k＝．

【答案】4．

10．某等差数列共有2 n＋1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n＝___________ .

【提示】（a₁＋a_{2 n＋1}）（n＋1）/（a₂＋a_{2 n}）n＝＝．

【答案】n＝10．

11．三个正数a、b、c 成等比数列，且a ＜b ＜c，a＋b＋c＝62，lg a＋lg b＋lg c＝3，那么三个数分别为________________．

【提示】设a＝，c＝bq，则＋b＋bq＝62且lg b³＝3，解得b＝10，q＝5．

【答案】2，10，50．

12．等差数列｛a_n｝中，S₆＝0（d ≠0）．若a_m、a_m＋1、a_{2 m} 成等比数列，则m＝__________．

【提示】由S₆＝0推出a₁＝－d，又（a_m＋d）²＝a_m（a_m＋md），故可推出2 m²－11 m＋12＝0．

【答案】m＝4．

13．已知数列｛a_n｝满足a₁＋2 a₂＋3 a₃＋…＋na_n＝n（n＋1）（n＋2）．则它的前n 项和S_n＝_______________________．

【提示】∵　a₁＋2 a₂＋…＋na_n＝n（n＋1）（n＋2）　　  ①

∴　a₁＋2 a₂＋…＋（n－1）a_n－1＝（n－1）n（n＋1） ②

由①－②得na_n＝3 n（n＋1），即a_n＝3 n＋3

可见，｛a_n｝是a₁＝6，d＝3的等差数列．

【答案】S_n＝（n²＋3 n）．

14．若1＋3＋5＋…＋（2 n－1）＝110[＋＋…＋]，则n＝_____________．

【提示】右式＝110[（1－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）]

＝110（1－），

左式＝＝n² ．

【答案】n＝10．

（三）解答题（第15至16题每小题7分，第17至19题每小题8分，共38分）

15．已知（b－c）log _m x＋（c－a）log _m y＋（a－b）log _m z＝0．

（1）设a、b、c 成等差数列，且公差不为0，求证：x、y、z 成等比数列．

（2）设x、y、z 成等比数列，且公比不为1，求证：a、b、c 成等差数列．

【提示】（1）由已知b－c＝a－b＝－d，c－a＝2 d（d ≠0）代入已知等式，得log _m x＋log _m z＝2 log _m y，故y²＝xz ．

（2）设＝＝q（q ≠1），则log _m y－log _m x＝log _m z－log _m y＝log _m q ≠0．代入已知等式，得a－2 b＋c＝0．

16．已知数列｛b_n｝，b_n＝

试判断数列｛b_n｝的增减性．

【提示】当x＝1时，b_n＝是递减数列；

当x（0，1）时，b_n＝，∵　递增，∴　b_n 递减．

当x（1，＋∞）时，b_n＝，∵　递减且1－x＜0，∴　b_n 递减．

总之，数列｛b_n｝是单调递减数列．

17．已知等差数列为｛a_n｝中，a₁＝1，S₁₀＝100

（1）求数列｛a_n｝的通项公式；

（2）从数列｛a_n｝中依次取出第1，3，3²，…，3^n－1 项，组成数列｛b_n｝，求数列｛b_n｝的前n 项和．

【提示】（1）a_n＝2 n－1．

（2）由于1，3，3²，…，3^n－1 都是数列｛a_n｝中的项，所以它们都满足a_n＝2 n－1故b_n＝2×3^n－1－1．以下再对等比数列｛2×3^n－1｝及常数列1，1，…，分别求其前n 项和即可．

【答案】（1）a_n＝2 n－1；　（2）＝3ⁿ－n－1．

18．已知函数f（x）＝

（1）如果当a ＜－2时，f（－3－a），f（a），－22成等差数列．求a 的值．

（2）在（1）的条件下，设等差数列｛a_n｝中，a₁＝f ²（a），公差为d，并且在前n 项和S_n（n N）中，S₂₀₀₀ 最大．求公差d 的取值范围．

【提示】（1）由a ＜－2，知－3－a＞－1，∴　f（－3－a）＝－a²－8 a－15．f（a）＝－a²－6 a－8，由已知条件，可得2 f（a）＝f（－3－a）－22即有a²＋4 a－21＝0，∴　a＝－7．

（2）a₁＝f ²（－7）＝225，∴　a_n＝225＋（n－1）d ．

而S₂₀₀₀最大   

故－≤d≤－．

【答案】（1）a＝－7．（2）－≤d≤－．

19．某企业为筹划资金A 元，以年利率r 每年度利计息借款，在当年初借入，前m 年内不还款，从m＋1年度开始每年以一定的金额a 元偿还，但在后续的n 年间要将借款本利和全部还清，求a ．

【提示】从借款到还清需m＋n 个年份，故A 元的本利和是A元，而偿还金额的本利和是a＋a＋…＋a（1＋r）＋a＝

故 A＝．

【答案】a＝．