三角函数综合训练卷B
（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的最小正周期为（ ）
A．π B．2π
C．
D．
3．
（ ）
A．cos5+sin5
B．cos5-sin5
C．
D．-（cos5+sin5）
4．设
，则tanα+cotα等于（ ）
A．1 B．2
C．-1 D．-2
5．△ABC中，sinA>sinB是A>B的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．△ABC中，sinA+cosA的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．
7．设α，β均为锐角，且
，
，则sinα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
，则
等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
9．设方程
的两根是tanα和
，且这两根之比为3：2，则m和n为（ ）
A．5，6 B．
，
C．5， D．5，6或，
10．下列四个命题中的假命题是（ ）
A．存在这样的α和β值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立
C．对于任意的α和β值，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ都成立
D．不存在这样的α和β，使cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ成立
11．（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．6
12．使函数
为奇函数且在区间
上为减函数的
的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．若
，则
的取值范围是_____________。
14．设
，则cosx+cosy的最大值是_____________。
15．函数
的最大值是y=_____________，此时x=_____________。
16．给出下列4个命题：
①函数
的值域是[-1，1]。
②函数
的周期是2π。
③若
，则的取值范围是
。
④函数
的最大值是2。其中正确命题的序号是_____________。
三、解答题（74分）
17．已知α，β为锐角，
，
，求cosβ的值。（10分）
18．已知sinβ=msin（2α+β），m≠1，且m表示
。（12分）
19．已知α，β为锐角，且
，3sin2α-2sin2β=0，求证：
。（12分）
20．已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx（0≤x≤π），求y的最大值和最小值。（12分）
21．求证：tanA+2tan2A+4tan4A+8cot8A=cotA。（14分）
22．求函数y=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。（14分）
参考答案
一、1．D2．A3．B4．B5．A
6．D7．B8．C9．D10．B
11．B12．C
二、13．
14．
15．
，
，k∈Z
16．①、④
三、17．解：因为α，β为锐角，且tan（α-β）>0，
所以α-β也为锐角，
所以
，
。
因为α为锐角，，所以
所以cosβ=cos[α-（α-β）]=cosα·cos（α-β）+sinα·sin（α-β）
18．解：因为sinβ=msin（2α+β）所以sin[（α+β）-α]=msin[（α+β）+α]
sin（α+β）cosα-cos（α+β）·sinα=m[sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα]
（m-1）sin（α+β）cosα=-（m+1）cos（α+β）sinα
所以（1-m）tan（α+β）=（m+1）tanα
即
19．证明：因为
所以
①
因为3sin2α-2sin2β=0
所以3·2sinα·cosα=2sin2β
即：3sinαcosα=sin2β②
①÷②得：tanα=cot2β 
因为α为锐角，所以
为锐角，又因为β为锐角，
所以α，β∈（0，π）所以，
，
即。
20．换元法。令sinx-cosx=t 即
∵
∴
，
21．证：tanA+2tan2A+4tan4A+8cot8A-cotA
=-4cot4A+4tan4A+8cot8A
=-8cot8A+8cot8A=0
所以原式成立。
22．当-1≤a≤1时，
当a>1时，
，
当a<-1时，t=-1时，
，t=1时，
[解题点拨]
1．参照前面§4.5提高卷的点拨
2．可降次。
可化为cos2x，2sinxcosx=sin2x
3．sin10=2sin5cos5 
5．注意画三角函数线，同时注意A、B都三角形的内角。
6．在△ABC中0<A<π，
，再去确定值域，可画三角函数线。
7．α，β为锐角，，可求sinβ的值。
由可知，α+β仍为锐角，而sinα=sin[（α+β）-β]
8．
，而前面的条件可保证分子与分母都是已知的。
9．这两根之比为3：2可有两种理解，即
或
10．注意公式运用条件。作为公式中角特殊时，公式也将是特殊的形式。
如：cos（α+π）= -cosα也可写成：
cosαcosπ+sinαsinπ（为什么？）
11．注意整理与发现题目的特殊性：21°+24°=22°+23°
12．应用y= a sin x + b cos x的最值问题以及它的其他命题形式。
注意：
其中
，
，
13．
，这样将
14．可设cosx+cosy=A，再利用
来解决。
15．利用降次来处理，将其化成cos2x为主的函数，如
16．，可化成
，再利用sinα≤1来处理。
可以化成cosx为元的二次函数，而cosx≤1。
17．α，β都为锐角，可先求sinα，sin（α-β），cos（α-β）的值，而β=α-（α-β）
18．要求式子中涉及两个角（α+β），α。而已知sinβ=sin[（α+β）-α]，
2α+β=（α+β）+α。
19．
，再建立α与2β的可行同名三角关系式。
20．换元法处理比较合理。
令
∵而
21．进行合理变形再证。
如
22．参照第16题点拨，同时要注意这是一个动函数定区间的题目。