同步测控优化训练B卷[第一章 集合与简易逻辑（一）]
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（ ）
A.{2，
} B.{－2，－} C.{±2,±} D.{2,－}
本题考查集合中元素的互异性.
【解析】 （1）由x2－3≠1解得x=±2
(2)由x2－3≠2解得x≠±
∴x不能取的值的集合为{±2,±}
【答案】 C
2.若3x－1＜3,化简
+
的结果是（ ）
A.6x－2 B.－6 C.6 D.2－6x
本题考查含绝对值不等式的解法及根式的化简.
【解析】 由3x－1＜3,解得－
＜x＜
∴+=
=
=－(3x－4)+(3x+2)=6
【答案】 C
3.已知M={x
＜
,N={yy=x2},则M∩N等于（ ）
A.
B.{xx＞1}
C.{xx＜
D.{xx＜0或x＞1}
本题考查集合的元素及交集运算.
【解析】 M={xx＞1或x＜0},N={yy≥0},两个集合都是数集，集合中的元素是数，易知M∩N={xx＞1}.
【答案】 B
4.集合A={xx2－3x－10≤0,x∈Z},B={x2x2－x－6＞0, x∈
,则A∩B的非空真子集的个数为（ ）
A.16 B.14 C.15 D.32
本题考查一元二次不等式的解法及求交集、子集的有关知识.
【解析】 易得A={x－2≤x≤5,x∈Z},B={xx＞2或x＜－
,x∈Z＝.
∴A∩B={x－2≤x＜－或2＜x≤5,x∈Z}={－2,3,4,5}.
下面就是求集合{－2，3，4，5}的非空真子集的个数，我们知道，一个集合若有n个元素，则它的子集共有2n个，其中真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个，因此，本题答案为24－2=14个.
【答案】 B
5.若x是不等式组
的解，则P(x+2, x－2)在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
本题考查一元二次不等式组的解法.
【解析】 由原不等式组得
，解得x＜－6
∵x+2＜－4,x－2＜－8,
∴点P(x+2,x－2)在第三象限.
【答案】 C
6.已知集合A={－1,1},B={xmx=1},且A∪B=A,则m的值为（ ）
A.1 B.－1 C.1或－1 D.1或－1或0
本题考查集合间的关系及分类讨论的能力.
【解析】 由A∪B=A有B
A,
①当m=0时，有B=A
②当m≠0时，有B={xx=
}A
∴=1或=－1,∴m=1或m=－1.
综上可知m=0或m=1或m=－1.
【答案】 D
7.已知M={xx=3k,k∈Z},P={xx=3k+1,k∈Z},Q={xx=3k－1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,则a+b－c∈（ ）
A.M B.P C.Q D.M∪P
本题考查元素与集合间关系的判定.
【解析】 设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3－1.
则a+b－c=3(k1+k2－k3)+2=3(k1+k2－k3+1)－1,而k1+k2－k3+1∈Z.
【答案】 C
8.二次函数y=x2+(a－3)x+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,且x1＜2,x2＞2,则a的取值范围是（ ）
A.a＜1或a＞5 B.a＜
C.a＜－或a＞5 D.－
＜a＜1
本题考查由一元二次函数的图象求参数范围的问题.
【解析】 依题意可得
,
即
解得a＜.
【答案】 B
9.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(
UA)∩B={4}，（UA）∩(UB)={1，5}，则下列结论正确的是（ ）
A.3
A且3B B.3B且3∈A C.3A且3∈B D.3∈A且3∈B
本题考查集合的运算.
【解析】 解答本题可利用文氏图填空的办法.
如图，∵A∩B={2},(UA)∩B={4},(UA)∩(UB)={1,5}.
∴3必在A∩(UB)中，∴3∈A,但3B.
【答案】 B
10.若x－4+x－3＞a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.(－∞,3) B.(－∞,1)
C.[1,+
D.(－∞,3)∪(4,+
本题考查含两个绝对值符号的不等式的解法.
【解析】 【解法一】 （1）当x≥4时，x－4+x－3=(x－4)+(x－3)=2x－7≥1;
（2）当3≤x＜4时，x－4+x－3=－(x－4)+(x－3)=1;
(3)当x＜3时，x－4+x－3=－(x－4)－(x－3)=－2x+7＞1.
综上（1）（2）（3）可知，对一切实数x,都有x－4+x－3≥1.
∴满足条件的a的取值范围为a＜1.
【解法二】 如图
∵x－4+x－3=PA+PB≥1
∴满足条件的a的取值范围为a＜1
【解法三】 由x－4+x－3≥(x－4)－(x+3)=1
可知满足条件的a的取值范围为a＜1.
【答案】 B
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11.用描述法表示图中阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合应为_______.
本题考查平面内常用点集的表述方法.
【答案】 {（x,y）－1≤x≤,－≤y≤1,xy≥0}.
12.不等式
≤－1的解集为_______.
本题考查分式不等式的解法.
【解析】 原不等式等价于
≤0
≤0
由数轴标根法可知原不等式解集为：
{x－1＜x≤1或2≤x＜
.
【答案】{x－1＜x≤1或2≤x＜
13.已知集合P={xx2+(m+2)x+1=0,x∈R},若P∩{正实数}=，则实数m的取值范围为_______.
本题考查集合与方程及分类讨论思想，注意在有关子集讨论中不要忽视对空集的讨论.
【解析】 (1)当P=时，有Δ=(m+2)2－4＜0,解得－4＜m＜0.
(2)当P≠时，有
解得
,得m≥0
综上①②可知m＞－4.
【答案】 {mm＞－4}
14.已知关于x的不等式x－
≤
的解集是单元素集A，则a=____,A=_____.
本题考查含绝对值不等式的解法.
【解析】 由x－≤解得2a≤x≤a2+1
又∵不等式的解集为单元素集，∴a2+1=2a,
解得a=1,此时A={2}.
【答案】 1 {2}
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分8分）
已知集合A={xx2－5x+6＜0},B={xx2－4ax+3a2＜0}且AB,求实数a的取值范围.
本题考查含参数的一元二次不等式的解法，集合的交、并运算及分类讨论的能力.
【解】 A={xx2－5x+6＜={x2＜x＜,
B={xx2－4ax+3a2＜={x(x－a)(x－3a)＜
(1)当a＞0时,B={xa＜x＜3a｝,
∵AB,∴
,解得1≤a≤2.
(2)当a＜0时，B={x3a＜x＜a｝.
由AB,得
，解集为.
（3）当a=0时，B={xx2＜=不合题意.
综上（1）（2）（3）可知1≤a≤2.
16.（本小题满分10分）
已知集合A={x－2＜x＜－1或x＞1},B={xx2+ax+b≤0},且A∩B={x1＜x≤3},A∪B={xx≥－2},试求a,b的值.
本题考查集合间的运算.
这样的定集合与动集合之间的运算通常是利用数轴进行子、交、并、补的运算，也就是简单的数形结合问题.
【解】 如图，可知B={x－1≤x≤3}.
即－1≤x≤3是不等式x2+ax+b≤0的解集.
∴
,解得
.
17.（本小题满分12分）
已知集合A={xx2－4x+3＜0},B={xx－3≤1}.
(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB={x1＜x＜2};
(2)按（1）的运算，求出BΔA.
本题考查学生对集合交、并、补集定义的理解及相关知识的联系与迁移能力，培养学生的发散性思维和创造性思维.
【解】 易得A={x1＜x＜3},B={x2≤x≤4}.
(1)∵AΔB={x1＜x＜
,
由图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，
∴定义AΔB={xx∈A且xB}.
（2）由（1）可知BΔA={xx∈B且xA}={x3≤x≤4}.
18.（本小题满分12分）
已知集合A={x－x2+x+2＜0},B={x2x2+(2k+5)x+5k＜0,k∈R}.求A∩B;
本题考查含参数不等式的解法及利用数轴求集合的子集.
【解】 A={xx＞2或x＜－,B={x(x+
)(x+k)＜.
①当k＞时，B={x－k＜x＜－
.
由图（1）可知A∩B={x－k＜x＜－.
图（1）
②当k=时，B=,A∩B=.
③当k＜时，B={x－＜x＜－
.
(i)当－＜－k≤－1即1≤k＜时,
图（2）
由图（2）可知A∩B={x－＜x＜－k}
(ii)当－1＜－k≤2即－2≤k＜1时，
由图（3）知A∩B={x－＜x＜－.
图（3）
（iii）当－k＞2即k＜－2时，
由图（4）可知A∩B={x－＜x＜－1或2＜x＜－.
图（4）
19.（本小题满分12分）
汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑引一段距离才能停住，我们将这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/时以内的弯道上，甲乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场测得甲车的刹车距离超过了12米，乙车的刹车距离超过了10米，已知甲乙两种车型的刹车距离S（米）与车速x(千米/时)之间有如下关系：
S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2
问两车相碰的主要责任是谁？
本题考查学生解应用题及不等式的能力.
【解】 由题意知，对于甲车：
0.1x+0.01x2＞12
x2+10x－1200＞0x＞30或x＜－40(舍去)
根据题意，甲车刹车距离略超过12米
∴甲车速不会超过30千米/时很多；
对于乙车：0.05x+0.005x2＞10x2+10x－2000＞0
x＞40或x＜－50(舍去)
∵乙车速已经大于弯道限速40千米/时，
∴主要责任在乙.