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高一数学第2讲

2014-5-11 0:18:33下载本试卷

高一数学第2讲

主 讲：潘慰高（高级教师，市数学学科带头人,省教育电视台《高中教学解

　　　　　　　　　 题方法》主讲教师）

主 审：金立建（特级教师，省教育电视台《高中生学习指导》主讲教师）

一、本讲教学进度

(代数)1.2—1.4(P13—26)

二、教学内容

　 1．并集.2.｜aX＋b｜＜C，｜aX＋b｜＞C型不等式.3一元二次不等式.

三、重点难点剖析

 1．补集

  （1）全集全集是一个相对的概念，它含有与所研究的问题有关的各集合的全部

元素.在研究不同问题时，全集也不一定相同.

　　(2)补集必须注意，是对于给定的全集I而言的，在不同的问题中全集可能不同，也可能不同.如A＝｛1，2｝，当I＝｛1，2，3，4｝时，＝｛3，4｝；当I＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝时，＝｛3，4，5，6，7，8｝.

　 例1　已知I＝R,A＝｛X｜1＜X≤3｝，求， A∪，A∩

解 　 ＝｛X｜X≤1，或X＞3｝.

　　　A∪＝｛X｜1＜X≤3｝∪｛X｜X≤1，或X＞3｝＝R＝I,

　　　A∩＝｛X｜1＜X≤3｝∩｛X｜X≤1，或X＞3｝＝Æ.

说明　在开始学习解这类题时，应画出数轴并借助于数轴求解，否则容易出错.

　 例 2  已知I＝｛１，２，３，４，５，６｝，A＝｛3,4,5｝,B＝｛4,5,6｝,求,，∪,A∩B,.

解  ＝｛1,2,6｝, ＝｛1,2,3｝，∪｛1,2,3,6｝,

　　A∩B＝｛4,5｝，＝｛１，２，３，６｝.

 评析  由例2，有()＝∪.可以通过韦恩图验证，这个等式对任意的集合A、B、I都能成立.

  例3　已知I＝R,A＝｛X｜X≥3｝，B＝｛X｜X≤1｝，求，，∪，.

解 　＝｛X｜X＜3｝, ＝｛X｜X＞1｝，

　　 ∩＝｛X｜1＜X＜3｝，

　　　A∪B＝｛X｜X≤1或X≥3｝，

　　　()＝｛X｜1＜X＜3｝.

评析  由例3,有()＝∩，可以通过韦恩图验证，这个等式对任

意的集合A、B、I都能成立.

  例4 　用n(A)表示有限集A的元素的个数.

  (1)已知n(A)＝20,n(B)＝15,n(A∪B)＝28,求n(A∩B)；　　Ａ　　　Ｂ

　(2)已知n(A∩B)＝4,n(A∪B)＝18,n(A)＝10,求n(B)

解(1)设n(A∩B)＝X，由韦恩图，　　　　　　  　　　　　20－ｘ　ｘ　15－ｘ

　　 ∵n(A∪B)＝28,

　　 ∴(20－X)＋X＋(15－X)＝28,

　　 ∴X＝7,即n(A∩B)＝7.　　　　　　　　　　　　　　  Ａ　　　　Ｂ

　(2)设集合B中不属于A的无素有X个.

　　 由韦恩图，及n(A∪B)＝18，　　　　　　　　　　　　10－4＝6　4　 x

　　 10＋X＝18,∴X＝8.

　　 ∴n(B)＝4＋8＝12.

评析 可以用韦恩图验证，一般地有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)．但不必硬记这个式子，在涉及到有限集的元素个数时，通常只要适当地设未知数，然后利用韦恩图及已知条件，就可以求得结果.

2.｜aX＋b｜＜c,｜aX＋b｜＞c型不等式

  (1)设f(X)＝aX＋b,一般地，有如下结论：

　 ①当c＞0时，｜f(X)｜＜c的解为－c＜f(X)＜c，｜f(X)｜＞c的解为f(X)＜－c或f(X)＞c

　 ②当c＝0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解即f(X)≠0的解.

　 ③当c＜0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解是全体实数.

　 例5　求满足｜2X－1｜＝｜3X＋4｜的X的值.

解 由绝对值的定义，2X－1＝3X＋4或2X－1＝－(3X－4),∴X＝－5或X＝－.

　例6  求下列不等式的解集:

  (1)2＜｜3X－1｜≤5；(2)｜2X＋1｜≤t2＋3(t∈R)．

解　①不等式的解即不等式组的解：

　　　

　　　

　　  3ｘ－1＜－２或３ｘ－１＞２

　　　　－５≤３ｘ－１≤５

　　　　３＜－或ｘ＞１

　　　　－≤ｘ≤２

　　　　∴不等式的解集为｛X≤－≤X＜－,或1＜X≤2｝．

　　　②∵t∈R，∴t2＋3＞0.

　　　　－(t2＋3)≤2X＋1≤t2＋3，－t2－2≤X≤t2＋1.

　　　　∴不等式的解集为｛X｜－t2－2≤X≤t2＋1｝.

(2)对于含有几个绝对值的代数式或不等式，可以用零点分段的方法去掉绝对值符号.　　例7 (1)解方程：｜X－3｜＋｜X＋2｜＝6;

　　　　　 (2)解不等式：｜X＋2｜＋｜X－1｜＜5.

　  解　 (1)零点为3，－2,分三段讨论.

　　　　　　当X＜－2,方程为3－X－(X＋2)＝6,X＝－；

　　　　　　当－2≤X≤3,方程为3－X＋X＋2＝6,5＝6,无解；

　　　　　　当X＞3，方程为X－3＋X＋2＝6,X＝.

　　　　　  ∴方程的解集为｛－, ｝.

　　　　 (2)当X＜－2,不等式为(1－X)－(X＋2)＜5,X＞－3,∴－3＜X＜－2;

　　　　　  当－2≤X≤1,不等式为(1－X)＋(X＋2)＜5，3＜5,∴－2≤X≤1；

　　　　　  当X＞1，不等式为(X－1)＋(X＋2)＜5,X＜2,

　　　　　  ∴1＜X＜2.

　　　　　  ∴不等式的解集为｛X｜－3＜X＜2｝.

　　评析  ①所谓“零点”,即使绝对值为零的X的值.若有n个零点，则分n＋1个情况讨论.由于在每区间内可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.

　　②在每一区间中求方程或不等式的解时，所求得的解必须在这个区间中.

③上面的解法是含有绝对值的问题的基本方法，这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.


　　　　－２ －１　 ０　 １　 ２　３　　　　　  ｘ　　

　　解 ｜X－3｜＋｜X＋2｜＝6，即求数轴上到3和－2的对应点距离和等于6的点所对应的数．由数轴知，3－(－2)＝5，所以该点在3对应点的右边或在－2对应点左边个单位，即X＝3或X＝－2.

　　解 ｜X －1｜＋｜X＋2｜＜5，即求数轴上到1和－2对应点距离和小于5的点所对应数的范围．由数轴知，1－(－2)＝3，所以X应满足－3＜X＜2.

　　


　　　　　　　　 －２　－１ ０　 １ 　２　３　　　　　　  ｘ

3.一元二次不等式

　　(1)一元二次方程aX2＋bX＋c＝0(a≠0)解的符号情况：

  方程有两个正根

方程有两个负根

方程有一个正根一个负根X1·X2＝＜0(此时必有Δ＞0).

　　 (2)一元二次不等式.只要熟练掌握相应的抛物线与X轴位置关系，就能迅速准确地求得不等式的解.对于不等式aX2＋bX＋c＞0(＜0)，实际上就是要求抛物线y＝aX2＋bX＋c在X轴上方(下方)的点的横坐标的范围.

借助于图象，把一元二次不等式的解的情况列表如下(设a＞0):

Δ的情况

图象

不等式

不等式的解

 

Δ＞0

ax2＋bX＋c＞0

X＜X1或X＞X2

ax2＋bX＋c＜0

X1＜X＜X2

Δ＝0

ax2＋bX＋c＞0

X≠X1

ax2＋bX＋c＜0

X∈Æ

Δ＜0

ax2＋bX＋c＞0

X∈R

ax2＋bX＋c＜0

X∈Æ

　　对于含有等号的不等式或a＜0的情况，类似地可以由图象得出不等式的解.但习惯上解一元二次不等式时，常使二次项系数a＞0.

　　例8  已知关于X的方程(k－1)X2＋(k＋1)X＋k＋1＝0有两个相异实根，求实数k的取值范围.

 解  由题设，得

　　 由②，(k＋1)(k＋1－4k＋4)＞0,－1＜k＜.

　　 ∴实数k的取值范围为－1＜k＜,且k≠1.

评析　①两个“相异”实数根即两个不等的实数根，不同于两个“异号”实数根.

　　② 当二次项系数含有字母时，要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式.

　　例9　已知m、n是关于X的方程X2－2X＋t＝0的两个实数根。ｍ３＋n３有没有最大或最小值?如有请求出最值；如没有，请说明理由.

解　∵Δ＝(－2)2－4·1·t≥0,  ∴t≤1，

　　由韦达定理，m＋n＝2,mn＝t

　　m3＋n3＝(m＋n)［(m＋n)2－3mn］

　　＝2·(22－3t)

　　＝8－6t

　　≥8－6×1＝2.

　　∴m3＋n3的最小值为2，无最大值.

评析　题中“两个实数根”是通常所说的隐含条件，它实际上暗示我们不要遗漏判别式大于或等于零的条件，在审题时一定要引起注意.

例10 解不等式：(1)≤0；(2) ≤1；

　　　　　　　　(3)  ＞－1.

解  (1)∵X2－2X＋2＝(X－1)2＋1＞0,

　　　 ∴原不等式与不等式X2－6X＋5≤0同解.

　　　 ∴原不等式的解为1≤X≤5.

　　(2) －1≤0，≤0.

　　　 ∵X2－2X＋2＞０，∴－４X＋3≤0.

　　　 ∴原不等式的解为X≥.

　　(3)由＞０，得　 ＞0.

　　　　∵X2－2X＋2＞0,∴X2－2X－2＞0.

　　　　∴原不等式的解为X＜1－或X＞1＋.

评析　上面(2)、(3)两题都是采用“移项”、“通分”的方法解分式不等式，这是解分式不等式的基本方法.当分母的符号不能确定时，千万不能用两边同乘以分母的方法去分母，因为若分母为正，去分母后不等号方向不变，若分母为负，去分母后不等号要改变方向.如(3)，若两边同乘以分母X2－2X－2，把不等式变成4＞－X2＋2X＋2，即X2－2X＋2＞0　①，不等式①的解集为R，显然原不等式的解集{X｜X＜1－,或X＞1＋}R，两个不等式不同解.当然，假如分母的符号可以确定的话，还是可以去分母的。如题(2)，因X2－2X＋2＞0，两边同乘以X2－2X＋2，原不等式变形为X2－6X＋5≤X2－2X＋2，解为X≥，与原不等式同解.



练习2

一、选择题

1.设全集I＝{a,b,c,d},集合M＝{a,b,c},集合N＝{b,d}，P＝{a,c,d}，则(　　)

  A. P＝()　　B. P＝(M∪N)  C. N＝(M∩P) 　D. N＝

2. 不等式｜2X＋1｜＞3的解集为　　 (　)

  A. {X｜X＜－2}　　 　　　　　　 B.{X｜X＞1}

  C. X＜－2或X＞1　　　　　　　　D.{X｜X＞1或X＜－2}

3. 设集合M＝{X｜f(X)＝0},N＝{X｜g(X)＝0},则方程＝0的解集是　　(　)

　 A. M　　　　　 　　B.M∩　　　C．M∪　　　 D.M∪N

4.不等式(1＋X)(2－X)≤0的解集是　　 (　　)

　 A.{X｜－1＜X＜2}　　　　　 　　 B.{X｜－1≤X≤2}

C.{X｜X｜＜－1或X＞2}　　　　　　 D.{X｜X≤－1或X≥2}

5.设全集为I，非空集合A、B满足ABI，则(　 )

　 A.A∩B＝Æ　　　 B.∩B＝Æ　　 C.A∩＝Æ　　　 D. ∩ ＝Æ

6.关于X的方程mX2－2(m－1)X＋2m－1＝0，有两个相异实根，则　　 (　)

　 A.＜m＜　　 B. ＜m＜且m≠0

　 C.≤m≤　　 D. ≤m≤且m≠0

7. 不等式X2－(m＋2)X＋2m＋1＞0的解集是R，则实数m的取值范围是　 (　 )

　 A. m＜0或m＞4　　 B.0＜m＜4　　　C.m∈R　　 　　　D.m∈Æ

8.  不等式≤0的解集是(　　)

　 A.{X｜－2≤X≤3} 　　　　　 B.{X｜－2≤X≤3,且X≠1}

　 C.{X｜－3≤X≤2}　　　　　  D.{X｜－3≤X≤2,且X≠1}

二、填空题

9. 不等式X2＋3X＋2＜4X＋14的解集为　　　　 ．

10. 不等式｜4－X｜≤1的解集为　　　　   ．

11. 设全集I＝R,M＝{X｜X≥2},N＝{X｜X2－5X＋6＜0},则∩＝　　　　．

12. 若不等式kX2＋(k－1)X＋k＋1＞0的解集为Æ，则实数k的取值范围为　　　 .

13. 当a＜0时，不等式｜aX－b｜≥1的解集为　　　　　　　　　　　　　 .

14. 已知全集I＝{不大于10的正奇数}，AI，BI，A∩＝{1,3},∩B

　　＝{9},＝{5,7},则A＝　　　 ,B＝　　　 。

三、解答题.

15. 解不等式：1≤｜2X＋3｜＜5.

16. 求不等式－3≤X2＋2X－3＜5的解集.

17. 设全集I＝{X｜X2－4X－12≤0},A＝{X｜X｜＜2},B＝{X｜X2－3X－4≤0},求

　　,.

18. 设集合M＝{X｜X2＋X－6≤0},N＝{X｜X－aX≥X－a}，全集I＝R,若N，

　　求实数a的取值范围.

［答案］

一、A　 D　 B　 D　 C　 B　 B　 B

二、9.{X｜－3＜X＜4}　10.{X｜3≤X≤5}　11.{X｜X＜2}　12.k≤

　　13.{X｜X≤,或X≥　　14.{1,3},{9}

三、15.－4＜X≤－2，或－1≤X＜1　16.{X｜－4＜X≤－2,或0≤X＜2}　 17. ＝　　

　　{X｜－2≤X＜－1,或4＜X≤6},＝{X｜－2≤X＜－1,或2≤X≤6}　 

　　 18.－3≤a≤2

[提示］

一、 7.Δ＝(m＋2)2－4(2m＋1)＜0,0＜m＜4

　　 8.∵X2－2X＋1＝(X－1)2≥0,∴X≠1,X2－X－6≤0,－2≤X≤3,∴－2≤X≤3且

　　　 X≠1.

二、12.　 由②，3k2＋6k－1≥0,k≥或k≤

　　 ，由①k＜0，∴k≤－.

　　 14.可以由韦恩图求得A、B.

三、18.M＝{X｜－3≤X≤2},＝{X｜X＜－3或X＞2}.N:(X－a)(X－1)≥0,(1)若a

　　 ＞1,N＝{X｜X≤1或X≥a},∵N,∴a≤2,1＜a≤2;(2)若a＝1,N＝R,∴a＝1;(3)若a＜1,N＝{X｜X≤a或X≥1},∴a≥－3,－3≤a＜1,∴－3≤a≤2.