5.1高一数学算法的含义
【教学目标】
1． 通过实例体会算法的思想，了解算法的含义；
2． 能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程；
3． 了解算法的主要特点（有限性和确定性）.
【教学重、难点】
通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义，算法概念以及用自然语言描述算法.
【教学过程】
一．问题情境
问题1：写出你在家里烧开水的过程.
一般地，第一步：把水注入电水壶；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.
问题2：两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案.
（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）
S1 两个小孩同船过河去；
S2 一个小孩划船回来；
S3 一个大人划船过河去；
S4 对岸的小孩划船回来；
S5 两个小孩同船渡过河去；
S6 一个小孩划船回来；
S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；
S8 两个小孩再同时划船渡过河去。
问题3 说出解一元一次方程的步骤.
一般地，S1：去分母；S2：去括号；S3：移项；S4：合并同类项；S5：除以一次项的系数，得方程的解.
二．学生活动
广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。做任何事情都有一定的步骤。例如：描述太极拳动作的图解，就是“太极拳的算法”；一首歌的乐谱，可以称之为该歌曲的算法.从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题。
问题4 给出求1+2+3+4+5的一个算法.
解（算法1）：按照逐一相加的程序进行：
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
解（算法2）可以运用公式1+2+3+…+
=
直接计算：
第一步：取=5；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果.
解（算法3）按照累积相加的程序进行：
第一步：让S=0，I=1
第二步：将S+I的值赋给S，I的值增加1
第三步：如果I比5大,则输出S,否则转第二步.
（说明算法不唯一）
|
的一个算法.
解：S1 ②-①×2得3y=-3；③
S2 解③得y=-1；
3S 将y=-1代入①，得x=4.
对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤是否具有一般性？应该怎样进一步完善？
点评：本题的算法是由加减消元法求解的，为了使这个算法适合一般的二元一次方程组的解，可以改为：
S1
方程①不动，将方程②中x的系数除以方程①中x的系数，可得乘数
；
S2
方程②减去
乘以方程①，消去方程②中的x项，得到
；
S3 将上面的方程组自下而上回代求解，得到y=-1，x=4.
S4
写出方程组的解
.
这种消元回代的算法使用一般线形方程组的求解——说明算法的普遍性.
|
的解的算法：
第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：解③，得
；
第三步：将代入①，得
。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到问题5的另一个算法：
第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：计算与
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
三．建构数学
通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
问题：我们要解决解决一类问题，我们可以抽象出其解题步骤或计算序列，他们有什么样的要求？
（1）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系。算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决。
（2）算法的五个特征
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去；
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的；
③逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题；
④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法；
⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决.
四．数学应用：
例1 写出求1×2×3×4×5的算法.
解 S1：先求1×2，得到结果2；
S2：将步骤1得到的结果2再乘以3，得到6；
S3：将步骤2得到的结果6再乘以4，得到结果24；
S4：将步骤3得到的结果24再乘以5，得到120。
另解※ S1 让S=1，I=1；
S2 将S×I的值赋给S，I的值增加1；
S3 如果I比5大,则输出S,否则转第二步.
点评 由于计算机是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S2，S3构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量S、I的值都发生了变化，并且循环一次之后都要在S3对I的值进行检验，一旦发现I的值大于5时，立即停止循环，同时输出最后一个S的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
例2 写出一个求整数a、b、c最大值的算法.
解 S1 先假定序列中的第一个数为"最大值"。
S2 将序列中的下一个整数值与"最大值"比较，如果大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值".
S3 如果序列中还有其它整数，重复S2.
S4 直到序列中没有可比的数为止，这时假定的"最大值"就是序列的最大值.
或写成：
S1 max=a；
S2 如果b>max，则max=b；
S3 如果c>max，则max=c；
S4 max就是a、b、c的最大值.
五．回顾反思
1．算法的定义：
一般地，对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法.
2．算法的主要特征：
（1）确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的；
（2）有限性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去；
其他如逻辑性、不唯一性、普遍性、具有输入和输出等.
3．算法的表述形式：
（1）用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）；
（2）程序框图（简称框图）；
（3）程序语言.
4．巩固练习
（1）任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
（2）给出一个求1×3×5×7×9×11×13×15×17×19的一个算法.
（3）有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。
分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。
参考答案：
（1）S1 输入任意正实数
；S2 计算
；S3 输出圆的面积
.
（2）S1 让S=1，I=1；
S2 将S×I的值赋给S，I的值增加2；
S3 如果I比19大,则输出S,否则转第二步.
（3）S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；
S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
S5 交换结束.
六．课后作业
《数学之友》T5.1：1~12 ，课本习题