高一数学习题
例1 已知
、
，则在以下各命题中，正确的命题共有（ ）
（1）
，
时，
与
的方向一定相反
（2）
，时，与的方向一定相同
（3）
，时，与是共线向量
（4）
，时，与
的方向一定相同
（5）
，时，与的方向一定相反
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分析；要对以上5个命题进行真假判断，只要掌握关于实数与向量的积是一个向量，其方向规定为：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，就不难作出正确选择．
解：根据实数与向量的积的方向的规定，易知命题（1）、（2）、（3）都是正确的．
对于命题（4）与（5），（ⅰ），可得、
同为正或同为负，所以与或者都与同向，或者都与反向，所以与同向．故命题（4）是正确的；（ⅱ）若
，则与异号，与与中，一个与同向，一个与反向，∴与反向，故命题（5）也是正确的．
综上所述，应选择（D）．
例2计算：
（1） 
；
（2）
解：（1）原式
（2）原式
评注：实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减运算法则。
例3 如图（1），已知向量、
，求作向量
解：在平面上任取点O，作
，
，则
，如图（2）。
评注：作向量，要使与同向，且的长度等于的长度的2倍；作则同理可作。
例4 如图，D是△ABC中BC边的中点，
求证：
证法一：∵D是BC边的中点，
证法二：延长AD到E，使DE＝AD，连BE、CE，如图，则四边形ABCE是平行
四边形．
由向量加法的平行四边形法则知：
例5 已知
、
不共线，
，
，试判断
与
是否共线？
分析；要判断与是否共线，只要看是否存在实数，使
解：∵
，
，
∴
∴与共线。
例6 已知三角形ABC，
，
，点D、E分别在线段AB和AC上，且
，证明
证明：如图，设
（
，
），则
，
例7 设平面上有点P和△ABC，已知
，试确定P的位置。
解：∵
，则由题意得：
，
即
，
∴ 点P在线段AC上，且将线段AC分成
（如图）
例8 已知：△ABC和点G，
试证：点G是△ABC的重心的充要条件是：
证明：如图，以线段GA和GB为邻边作
，连EG交AB于D，则D是AB 的中点，且
，
，
充分性：若
，则
，
∴G是△ABC的重心。
必要性：若G是△ABC的重心，则因D是AB边的中点，所以有
，
∴
例9 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
求证：（1）
；（2）
；（3）
点拨：要证明（1）只须证明
；要证（2）只须证明
对于（3），可将等式左边诸向量代换成一些有明显关系的向量再进行运算。
证明：
这说明
∴
∴
∴ 
同理，
，
，
∴ 
点评：用向量方法来证明平面几何命题，应先把结论写成向量形式，然后通过向量运算来完成，而不是通过平面几何的公理体系来完成．
例10 在△ABC中（右图），设D及E是BC的三等分点，D在B和E之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，试用向量法求比值
解：设
，
，则
，现在把上式中的每一个向量用
及
表示：
，
，
，
把这些式子代入前面的等式，我们有
即
由于
，
不共线，所以
解之
从而得
说明：上述求解过程中没有利用平面几何中的有关结论。其实采用纯平几法求解是十分简洁的。
例11 已知向量
，
，其中、不共线，向量
，问是否存在这样的实数、
，使向量
与
共线？
解：∵ 
要
与共线，则应有实数
，使
，
即
，
由
得
故存在这样的实数、，只要
，就能使与共线。
评注：向量
与
共线，则必有
请问：若
，向量与共线吗？
例12 如图，
、
不共线，点P是直线AB上的一点，且
（
，
），试用、表示
。
分析：与、没有直接的联系，这时我们可以在△OAP（或△OPB）中，把用和（或
与）表示出来。
解：
例13 如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设
，
，试用、表示
。
错解：连BE并延长交CD于G，连AG。由于E是AC与BG的中点，所以四边形ABCG是平行四边形。因此
、
又∵F是BD的中点，
点击：由于四边形ABCD不是梯形，而是一般的四边形．所以，点E是AC的中点，但并不一定是BG的中点．因此，四边形ABCG并不一定是平行四边形，所以
不一定等于，故上述解法是错误的．
正解：如图，取AB中点P，连EP、FP。
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，
在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，
在△EFP中，
说明：由于
∴
，
。即
也等于四边形另一对对边相应向量和的一半。