逻辑联结词·典型例题
能力素质
例1 下列语句中不是命题的是
[ ]
A．台湾是中国的
B．两军相遇勇者胜
C．上海是中国最大的城市
D．连接A、B两点
分析 “D”是描述性语句．
答 D．
例2 命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是
[ ]
A．没有使用联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“非”
分析 注意到x＝±2是x＝2或x＝－2．
答 选B．
例3 命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有
[ ]
A．①③④ B．③④
C．③ D．①③
分析 ②是简单命题，其余的均为复合命题．
解 选A．
作是“p或q”形式，p为________，q为________．
分析 “不超过”用“≤”表示，其否定是“＞”，“≤”可以看作为“＜”或“＝”的复合形式．
说明：对命题的否定要“全面”，比如“＞”的否定不是“＜”．
例5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)4既是8的约数，也是12的约数；
(2)张明是数学课代表或英语课代数；
(3)江苏省不是中国面积最大的省．
分析 先寻找逻辑联结词，再确定被联结的简单命题．
解 (1)p且q，p：4是8的约数，q：4是12的约数；
(2)p或q，p：张明是数学课代表，q：张明是英语课代表；
(3)非p、p：江苏省是中国面积最大的省．
例6 以下判断正确的是
[ ]
A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题
B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题
C．命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题
解 根据真值表．选B．
说明：在记忆真值表的时候，要体会它的合理性．
例7 如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么
[ ]
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
分析 p为假，从而q为真．
解 选B．
例8 若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有
[ ]
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
分析 利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论．
解 ∵“p或q”的否定是“非p且非q”，这是一个真命题，所以由真值表．非p、非q都是真命题，那么p假q假．选B．
点击思维
例9 有下列五个命题
(1)40能被3或5整除；
(2)不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；
(3)对任意实数x，均有x＋1＞x；
(4)方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；
其中假命题为________．(只填序号)
分析 使用不同的方法分别验证．
答 填写(4)．
例10 p：菱形的对角线互相垂直．q：菱形的对角线互相平分．求下列复合命题：
(1)p或q (2)p且q (3)非p
分析 一般的问题都是“拆”复合命题，这儿是“造”复合命题，关键在于“合”．
解 (1)菱形的对角线互相垂直或平分；
(2)菱形的对角线互相垂直且平分；
(3)菱形的对角线互相不垂直．
例11 以1表示真，以0表示假，填写下面的真值表．
分析 将q的可能取值与p对应，然后依真值表逐格填写．
解
说明：有时需要我们综合应用真值表．
例12 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．
(2)p：4＞6．q：4＋6≠10．
分析 利用真值表．
解 (1)p或q：真；p且q：真；非p：假．
(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．
说明：本题是要求先“造”命题，然后判定其真假．
例13 如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么
[ ]
A．命题p一定是假命题
B．命题q一定是假命题
C．命题q一定是真命题
D．命题q是真命题或者假命题
分析 利用真值表回推．
答 选D．
说明：解题过程中注意发挥逆向思维的作用．
学科渗透
例14 命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是________形式．命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是________形式．
分析 x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．
x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．
答 填p且q；p或q．
说明：本题是集合问题与命题概念的结合．
例15 分别指出下列各命题的形式及构
成它的简单命题，并指出复合命题的真假．
(1)8或6是30的约数；
(2)矩形的对角线垂直平分；
(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．
分析 分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．
解 (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“q或q”为真．
(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．
(3)非p、p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．
说明：将简易逻辑知识负载在其他知识之上