金乡高级中学第三次月考高一数学试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分)
1、已知全集,集合
,
,则集合
(
U
)等于( )
或
或
或
或
2、若函数的反函数的图象过
点,则
点坐标可能是 ( )
A、(2,5) B、(1,3) C、(5,2) D、(3,1)
3、已知是第三象限角,
且
,则
等于 ( )
A、 B、
C、
D、
4、已4知sincos
=
,且
,则cos
-sin
的值为( )
5、若数列的前
项之和
,那么这个数列的通项公式为( )
6、不等式的解集是 ( )
A、 B、[-1,3] C、
D、
7、已知数列中,
,则
等于( )
445
765
1080
3105
8、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后,再作关于x轴对称的曲线,得到函数y=1-2sin2x,
则f(x)是
( )
A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx
9、若,
,则
与
的夹角为 ( )
A、 B、
C、
D、
10、已知函数为偶函数,其图象与直线
的某两个交点横坐标为
,
的最小值为
,则 ( )
A、 ,
B、
,
C、
,
D、
,
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)
11、若,
,则
=__________。
12、已知,
,
与
的夹角为
,要使
与
垂直,则
=
。
13、在“ + ”中的“
”处分别填上一个自然数,并使它们的和最小;
14、定义运算为:
例如,
,则函数f(x)=
的值域为 .
金乡高级中学第三次月考答题纸
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 |
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)
11、 12、 13、 14、
三、解答题(本大题共6小题,满分84分)
15、(本题满分14分)已知是定义在
上的奇函数,当
时,
,
⑴求函数;⑵解不等式
。
16、(本题满分14分)已知函数、
为 常数,且
)的图象过点(0,
),且函数
的最大值为2。
⑴求函数的解析式,并写出其单调递增区间;
⑵若函数的图象按向量
作移动距离最小的平移后,使所得图象关于
轴对称,求出向量
的坐标及平移后的图象对应的函数解析式。
17、(本题满分14分)设、
是两个不共线的非零向量(
)
⑴设,
,
那么当实数
为何值时,
、
、
三点共线?
⑵若且
与
夹角为120°,那么实数
为何值时
的值最小?
18、(本题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池(平面图如图所示),池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)
⑴污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低;
⑵如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低。
19、(本小题满分14分)已知函数、
为常数,且
,若
,且方程
有两个相等的实根。(1)求函数
的表达式;(2)设数列
满足条件:
,且
,求数列
的通项公式。
20.(本题满分14分) 已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=,
(Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;
(Ⅲ)若a1 = 2,设bn = an+1-an (n = 1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.
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四、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | C | D | B | D | C | B | B | C | A |
五、填空题
11、-
12、2 13、10 15 14、[-1,
]
六、解答题
15、(本题满分14分)已知是定义在
上的奇函数,当
时,
,
⑴求函数;⑵解不等式
。
f(x)=
x=0显然成立
得 0<x<2
得 x<-1 综述(-
-1)
16、(本题满分14分)已知函数、
为 常数,且
)的图象过点(0,
),且函数
的最大值为2。
⑴求函数的解析式,并写出其单调递增区间;
⑵若函数的图象按向量
作移动距离最小的平移后,使所得图象关于
轴对称,求出向量
的坐标及平移后的图象对应的函数解析式。
解:(1)
所以函数的解析式是
的单调递增区间是
(2)∵平移后的图象对应的函数解析式是
图象关于y轴对称,即为偶函数,
恒成立
,
故,图象对应的函数解析式为
17、(本题满分14分)设、
是两个不共线的非零向量(
)
⑴设,
,
那么当实数
为何值时,
、
、
三点共线?
⑵若且
与
夹角为120°,那么实数
为何值时
的值最小?
(1)
,
(2)
18、(本题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池(平面图如图所示),池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)
⑴污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低;
⑵如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低。
解:设污水处理池的长为x米,则宽为米。
总造价。
=36000(元)
当且仅当时,即x=15等号成立。
记g(x)=x+,显然是减函数,
有最小值,相应造价f(x)有最小值。此时宽也不超过14.5
19、(本小题满分14分)已知函数、
为常数,且
,若
,且方程
有两个相等的实根。(1)求函数
的表达式;(2)设数列
满足条件:
,且
,求数列
的通项公式。
解 :(1)∵f(2)=1,∴ ① 又f(x)=x,即
,化简得ax2+(b—1)x=0(a≠0),
又因为方程f(x)=x有两个相等的实根,∴△=(b—1)2=0,
解得b=1,把它带入①式解得a=,∴ f(x)=
(2)∵由(1)知f(x)=
,则
由Xn+1=f(Xn),X1=2,则,
所以 故数列{
}是以
为首项,以
为公差的等差数列
∴=
+(n—1)
=
,∴数列
的通项公式为
。
20.(本题满分14分) 已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=,
(Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;
(Ⅲ)若a1 = 2,设bn = an+1-an (n = 1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.
解:(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1== an ……………………
又依a1>0,可得an>0并解出:an=,即a1 = an =
……………………
(Ⅱ)研究an+1-an=-
=
(n≥2)
注意到>0
因此,可以得出:an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号
要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2-a1>0即可.
由>0,解得:0<a1<
……………………………………………
(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法,可得
当a1>时,an+1<an对任何自然数n都成立.
因此当a1=2时,an+1-an<0 ……………………………………………
∴ Sn= b1+b2+…bn
=a2-a1 + a3-a2 +…+ an+1-an
=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1
=a1-an+1=2-an+1 ………………………………………………………
又:an+2=< an+1,可解得an+1>
,
故Sn<2-=
………………………………………………………………