2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity
Competition
2006青少年數學國際城市邀請賽
隊際賽試題 2006/7/12 溫州市
隊名：___________________得分：__________________
1. 老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x的三角形內部放置一個盡可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」
學生A說：「我想x＝1。」
學生B說：「我認為
。」
學生C說：「你們回答都不對！」
他們三人誰的回答是正確的？為什麼？
解答：一方面三角形的面積＝
；另一方面，該三角形底邊上的高為
，所以三角形面積
。可得
。
當
時，
； 當時，
。
取
，則
，所以是一個更好的選擇。所以學生C的回答正確。
註：當
時，可取到r的最大值
。
2. 一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36˚，求原三角形最大內角的所有可能值。
解答：（1）若剖分線不過點B。不妨設剖分線為AD，此時△BAD是
或者
的三角形。
若△BAD是的三角形，則△CAD或者是
第一個圖，或者是
第二個圖，或者第三、四個圖.
（2） 若剖分線過點B。不妨設為BE，則△CBE必定是
，△ABE是
的三角形。
所以原三角形的最大內角可能是
。
3. 四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖五種不同的形狀。用一片“L”形(圖中第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合。
 |
解答：
4. 一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成，在每個正方形內標記上數字1、2、3、4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌。將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來。
解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編號22的骨牌只能是在右邊界處。此時，右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌.。所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌.。所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.如左圖。
這時，第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌。這使得左側只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24。
在右下角，必須出現編號為12的骨牌，此時，其餘的骨牌也就確定了。
5. “幸運數”是指一個等於其各位數碼 (十進位) 和的19倍的正整數，求出所有的幸運數。
解答：設10 a＋b是一個至多兩位數，方程 10 a + b = 19 (a + b) 僅當 a = b = 0時成立。所以，所有的幸運數至少是三位數。
假設一個幸運數有m位數，
，則該數至少為
，其數碼和至多為 9m，所以，
。
當 m = 4時，
不成立。而 
，更不成立。因此，所有的幸運數都是三位數，由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知 9a
= b + 2c。
當 a = 1時，可得 (b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0)。
當 a = 2時，可得 (b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5)。
當 a = 3時，可得 (b，c) = (9，9)。
當 a > 3時，無解。
所以共有 11 個幸運數： 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和 399。
6. 甲和乙在一個n´n的方格表中做填數遊戲，每次允許在一個方格中填入數字0或者1（每個方格中只能填入一個數字），由甲先填，然後輪流填數，直至表格中每個小方格內都填了數。如果每一行中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝。請問：
(1) 當n＝2006時，誰有必勝的策略？
(2) 對於任意正整數n，回答上述問題。
解答：(1) 當n=2006時，後填數的乙有必勝策略。用1´2的多米諾骨牌對表格進行分割，使得每一行都由1003塊多米諾組成，當甲對某塊多米諾的一個中填數時，乙也在該多米諾中填數，並且使得這塊多米諾中兩個數之和為偶數。依此策略，乙可以使得表格的每一行中各數之和都是偶數。故乙獲勝。
(2) 當n為偶數時，同上述操作，可知乙有必勝策略；當n為奇數時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然後對第1行中其餘方格作前面的多米諾分割，採取同樣的操作方式，可使表格中第1行中各數之和為奇數。
7.
設n為任意奇正整數，證明：
+
能被2006整除。
證明：因為 
，所以為證結論成立，只需證
為奇正整數時，
能被2，17，59整除。顯然，運算式能被2整除。
應用公式，為奇數時，
，
。
則由於
，
，所以能被59整除。
又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以 能被17整除。
故結論成立。
8.
將正整數中所有被4整除以及被4除餘1的數全部刪去，剩下的數依照從小到大的順序排成一個數列
：2, 3, 6, 7, 10,
11, … 。
數列的前n項之和記為
，其中n=1,
2, 3, …。
求S=
的值。（其中
表示不超過x的最大整數）
解答：易知
，
，
，因此
，
，
所以
故
，
，從而
，於是
。
9. 平面上，正三角形ABC與正三角形PQR的面積都為1。三角形PQR的中心M在三角形ABC的邊界上，如果這兩個三角形重疊部份的面積為S，求S的最小值。
解答：在正△PQR的三個頂點處截去三個全等的正三角形，得到一個面積為
的正六邊形，則M是這個正六邊形的中心。
若點M與△ABC的一個頂點重合，如左圖，易知正六邊形和△ABC的重疊部分面積是
。在中間的圖形中，把△ABC繞著點M順時針旋轉，則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等，所以兩個三角形的公共部分面積是不變的。
若點M在△ABC的邊上，不妨設在BC上，且靠近點C，如右圖所示.，過點M作AC的平行線MN，交邊AB於點N，則△BMN是正三角形.。因為
，BM和MN都與正六邊形相交，所以△BMN與正六邊形的公共部分面積為。
當把正六邊形恢復成原來的正三角形時，公共部分面積不會減小.，所以兩個三角形公共部分面積的最小值為，如左圖。
10. 設m是一個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質數，且mn是一個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m。
解答 由題設條件知：m－n=p，p是質數，則m=n+p，設mn=n(n+p)=
，其中x是正整數，那麼
，
即
，
於是
，
注意到p為質數，所以
把兩式相加得
，進而
，結合
,可得
，於是，質數p只能是67，71，73，79或83。從而，滿足條件的m為1156，1296，1369，1600，1764。