高二数学下学期期末模拟试题
本试卷满分150分，答题时间 120分钟
姓名 班级 分数
一．选择题：（每小题5分，共50分）
1．设a、b、c是三个实数，那么“a>b”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设向量
不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．当x∈
时，可得到不 等
式x＋
2，x＋
3，由
此可推广为x＋
n＋1，其中P等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知两定点
，如果动点
满足
，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
| 3 | ||
| 4 | ||
A．
B．
C．
D．
6．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（ ）
A．6
B．
7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
8．已知集合
，直线
与双曲线
有且只有一个公共点，其中
，则满足上述条件的双曲线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．以上答案都不对
9．如果
∥
，AB与AC是夹在平面与之间的两条线段，
且
，直线AB与平面所成的角为
，那么线段AC长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设椭圆
的离心率为e＝
，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P (x1，x2) 的位置（ ）
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
答 题 卡
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
二．填空题：（每小题5分，共25分）
11．用一张长宽分别为
为___ _ cm
12．已知点P(x, y)的坐标满足条件
，点O为坐标原点，那么PO的最小值等于_________，最大值等于____________。
13．过抛物线
的焦点
作倾角为
的直线，与抛物线分别交于
、
两点（在
轴左侧），则
。
14．一个类似于杨辉三角的三角形数组（如下图）满足：（1）第1行只有1个数1；
（2）当n≥2时，第n行首尾两数均为n; (3)当n>2时，中间各数都等于它肩上两数之和，则第n行（n≥2）第2个数是______________ _。
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
…………………………………………………………
15．已知O为异面直线a、b外任一点，给出下列命题：
①过点O可以作一条直线与a、b都相交； ②过点O可以作一个平面与a、b都平行；③过点O可以作一条直线与a、b都垂直； ④过点O可以作一个平面与a、b都垂直。
其中真命题的编号是 （写出所有正确命题的编号）。
三．解答题：
16．（本小题满分12分）已知函数
,且
．
（1）求常数
的值；（2）解不等式
。
17．（本小题满分12分）在1，2，3，，…，30，这30个数中。（1）每次取互不相等的2个数，使其积为7的倍数，有多少种取法？(2）每次取互不相等的3个数，使其和是4的倍数，有多少种取法？
18．（本小题满分12分）四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
底面．已知
，
，
，
．（Ⅰ）证明
；（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的大小．
19．（本小题满分12分）如图，设ABCDEF为正六边形，一只青蛙从顶点A开始随机跳动，每次随机地跳到与它所在顶点相邻的两顶点之一，每次按顺时针方向跳动的概率为
．
(1)求青蛙从A点开始经过3次跳动所处的位置为D点概率；
(2)求青蛙从A点开始经过4次跳动所处的位置为E点概率．
20．（本小题满分13分）如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
为
中点
（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的大小；（Ⅲ）求点
到平面的距离
21．（本小题满分14分）已知椭圆
的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，坐标原点
到直线的距离为
，求
面积的最大值．
湖北省安陆一中高二下学期期末模拟试题参考答案
一．选择题：（每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | C | B | A | B | A | D | C | D | A |
二．填空题：（每小题5分，共25分）
11．
12．
13．
14．
15．③
三．解答题：
16．解：（1）因为
所以
又由于。所以
可得
（2）由（1）知
当
时，
，因为
，所以
当
时，
，所以
综上得不等式的解集为
17．解：（1）被7整除的数有7，14，21，28四个，不被7整除的有26个，满足题意的取法共有
＝6+104=110
（2）记
表示被4除余
的数组成的集合（＝0，1，2，3）
共有7个元素， 
共有8个元素
共有8个元素，
共有7个元素
满足题意的取法：1、在
中取3个，有
＝35种。
2、在中取1个、
中取2个，有
＝196种。
3、在中取1个、
和
中各取1个，有
＝392种。
4、在中取2个、中取1个，有
＝224种
5、在中取1个、中取2个，有
＝168种。故共有1015种取法。
18．解：（Ⅰ）作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面，得
底面．因为
，所以
，又，故
为等腰直角三角形，
，由三垂线定理，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设
，
故
，由
，
，
，得
，
．
的面积
．连结
，得
的面积
设到平面的距离为
，由于
，得
，解得
．
设与平面所成角为，则
．所以，直线与平面
所成的我为
．
解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为
轴正向，建立直角坐标系
，
，
，
，
，
，
，
，所以．
（Ⅱ）取
中点
，
，连结
，取中点
，连结
，
．
，
，
．
，
，与平面内两条相交直线，垂直．所以
平面，
与
的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，
．
，
，
所以，直线与平面所成的角为．
19．解：设青蛙顺时针跳动1次为事件A，逆时针跳动1次为事件B，则， P(A)＝，P(B)＝1－P(A)＝
。
青蛙从A点开始经过3次跳动到达D点有两种方式：顺时针跳动3次或逆时针跳动3次，故所求概率为P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝
(2)青蛙从A点开始经过4次跳动到达E点有两种方式：逆时针跳动4次，或顺时针跳动3次而逆时针跳动1次，逆时针跳动4次的概率为
，顺时针跳动3次而逆时针跳动1次的概率为
。故所求概率为
．
20．解法一：（Ⅰ）取
中点，连结
为正三角形，
正三棱柱中，平面
平面
，
平面 连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
在正方形
中，
，
平面
（Ⅱ）设
与
交于点，在平面中，作
于，连结
，由（Ⅰ）得平面
，
为二面角的平面角
在
中，由等面积法可求得
，又
，
所以二面角的大小为
（Ⅲ）
中，
，
在正三棱柱中，
到平面的距离为
设点到平面的距离为
由
得
，
点到平面的距离为
解法二：（Ⅰ）取中点，连结
为正三角形， 在正三棱柱中，平面平面，
平面 取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平面
（Ⅱ）设平面
的法向量为
，
，
，
令
得
为平面的一个法向量 由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量 
，
二面角的大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ），
为平面法向量， 
点到平面的距离
21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，
，所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）设
，
．（1）当
轴时，
．
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为
．
由已知
，得
．把代入椭圆方程，整理得
，
，
．
．
当且仅当
，即
时等号成立．当
时，，
综上所述
．当
最大时，面积取最大值
．