高二数学下期末考试综合练习（1）
高二 班 学号 姓名 成绩
一、填空题
1、
。
2、若
，
，则
与
的位置关系为
。
3、设正三棱椎
的底边长为
，高为
，则侧棱与底面所成角的大小为
。
4、在等比数列
中，公比为
且
，若
，
，则
。
解：
，
，
。
因为，解得
，
，所以
。
。
5、已知
，
，
，则当
最大时
与
的夹角
。
解：
，当
时，最大。
此时
，代入得
，
。
因为
，所以与的夹角。
6、如图为一几何体的展开图，其中
是边长为
的正方形，
，
，
，点
及
共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使
四点重合，则需要
个这样的几何体，可以拼成一个棱长为的正方体。
解： 折叠后的样子 三个四棱锥的拼法
7、 用种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中
所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有
种。（用数字作答）
8、 如图，直三棱柱
中，
，
，
，
，
上有一动点
，则
周长的最小值是
。
解：
，
要使
最小，须将图展开，连接
交于，此时
。
所以周长的最小值是。
9、 
件产品，其中
件是正品，
件是次品，从中任抽两件最多
件是次品的概率等于
。
10、若在从到
这个整数中任取个数 ，则所取的两数和为偶数的概率为
。
11、已知数列
是由正整数组成的数列，
，且满足
，其中
，
，且
，则
。
解：当时，
，
（）。
所以
。
12、在锐角的二面角
，
，
，
，若
与
所成角为
，则二面角为。
解：如图，作
，交
于
。过
作
，垂足为
，连接
。
设
，则
，
。
因为
，所以
，则
。
二、选择题
13、从单词“
”选取
个不同的字母排成一排，含有“
”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有个数为（
）
解：
。
14、探索以下的规律： 
则根据规律，从
到
，箭头的方向依次为（
）
解：以4为周期，故从到相当于从2到4。
15、若
是直三棱柱，
，点
、
分别是
、
的中点，且
，则
与
所成角的余弦值是（
）
解：建立空间直角坐标系如图，设
，
，
，
。
于是
，
，则
。
所以与所成角的余弦值是
。
*16、图中多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面
而截得的。已知
，截面与底面成
的二面角，
，则这个多面体的体积为（）
解：过
作
，
，联结
、
。
取中点
，联结、
。
平面
，所以截面与平面
所成的二面角为。
，为中点，
。
，
，即
，则
。
。
，同理得
。
于是多面体体积
。
三、解答题
17、如图，
垂直正方形所在平面，
，
是
的中点，向量
、
的夹角为
。
（1）建立适当的坐标系，求点的坐标；
（2）在
上找一点，使
平面
。
解：（1）以
、、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图，则
，。设
（
），
。
于是
，
。
由题意得，
，
解得
或
（舍）。
所以点的坐标为
。
（2）设点的坐标为
，则
。
要使平面
。
所以点的坐标为
，即点为的中点。
18、直三棱柱
中，
，
。
（1）证明：
；
（2）求点到平面
的距离；
（3）求二面角
的大小。
解：（1）
，
。
（2）设点到平面的距离为
，
因为，
，又
平面
，则
，
平面
。
同理得
平面
，所以
。
于是
。
因为
，
，
所以
。
故点到平面的距离为
。
（3）取
中点
，联结
，过作
交于，联结
。
是等腰三角形，
。
又
平面
，
，所以
平面
。
于是
，又，
平面
，得
。
因此，
为二面角的平面角。
，
，
，即
。
所以二面角的大小为
。
另解：（空间向量）
（1）建立空间直角坐标系如图，则，
，，
。
于是
，
。
则
，所以
。
（2）设
是平面的法向量，
由
，
，得
，所以
。
令
，则
。
又
，所以到平面的距离
。
（3）设
是平面
的法向量，
由
，
得
，所以
。
令
，则
。
因为
，
所以，二面角的平面角的大小为。
19、已知数列
满足
（
，且
），其前
项和
。
（1）求证：为等比数列；
（2）记
（
），
为数列
的前项和。当
时，求
。
证明：（1）当
时，
，
整理得
，，所以是以
为首项，为公比的等比数列。
于是
。
（2）因为
，
。
当时，
，
，
两式相减得，
，又
，
所以，
。
20、已知数列满足
，其中
为其前项的和，
。
（1）证明：数列的通项公式为
；
（2）求数列
的前项和；
（3）是否存在无限集合
为正整数}， 总有
<
成立；若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。
证明（1）当时，
，
整理得
。
于是
，
。
（2）
，
。
（3）要使
，即
，只需
即可。
所以， 
。