典型例题一
例1 解不等式
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念
，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令
，∴ 
，令
，∴
，如图所示．
（1）当
时原不等式化为
∴
与条件矛盾，无解．
（2）当
时，原不等式化为
．
∴
，故
．
（3）当
时，原不等式化为
．∴
，故
．
综上，原不等式的解为
．
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二
例2 求使不等式
有解的
的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一：将数轴分为
三个区间
当
时，原不等式变为
有解的条件为
，即
；
当
时，得
，即；
当
时，得
，即
，有解的条件为
∴．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为．
解法二：设数
，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式
的意义是P到A、B的距离之和小于．
因为
，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即
，故当时，有解．
典型例题三
例3 已知
，求证
．
分析：根据条件凑
．
证明：
．
说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
典型例题四
例4 求证
分析：使用分析法
证明
∵
，∴只需证明
，两边同除
，即只需证明
，即
当
时，
；当
时，
，原不等式显然成立．∴原不等式成立．
说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：
（1）如果
，则
，原不等式显然成立．
（2）如果
，则
，利用不等式的传递性知
，
，∴原不等式也成立．
典型例题五
例5 求证
．
分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．
证明：设
．
定义域为｛
，且
｝，
分别在区间
，区间
上是增函数．
又
，
∴
即
∴原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：
∵
，
，
∴
．
错误在不能保证
，
．绝对值不等式
在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
典型例题六
例6 关于实数
的不等式
与
的解集依次为
与
，求使
的
的取值范围．
分析：分别求出集合、，然后再分类讨论．
解：解不等式
，
，
∴
．
解不等式，
．
当
时（即
时），得
．
当
时（即
时），得
．
当时，要满足，必须
故
；
当时，要满足，必须
∴
．
所以的取值范围是
．
说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
典型例题七
例6 已知数列通项公式
对于正整数
、
，当
时，求证：
．
分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式
，问题便可解决．
证明：∵
∴
．
说明：
是以
为首项，以
为公比，共有
项的等比数列的和，误认为共有
项是常见错误．
正余弦函数的值域，即
，
，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
典型例题八
例8 已知
，
，求证：
分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用
，替出；(3)用绝对值的性质
进行替换．
证明：∵，∴
，
∵，∴
．
∴
，
∴
，
即．
说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．
典型例题九
例9 不等式组
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由
，知
，∴
，又
，∴
，解原不等式组实为解不等式（）．
解法一：不等式两边平方得：
．
∴
，即
，
∴
，又．
∴
∴
．选C．
解法二：∵，∴可分成两种情况讨论：
(1)当
时，不等式组化为
（）．
解得．
(2)当
时，不等式组可化为
（），
解得
．
综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C．
说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．
典型例题十
例10 设二次函数
(
，且
)，已知
，
，
，
，当
时，证明
．
分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．
证明：∵
，
∴
．
又∵，∴
．
∴
．
又
，
，
∴
．
而的图像为开口向上的抛物线，且，
，
∴
的最大值应在
，
或
处取得．
∵，，
，
∴．
说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，
，
的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值．