随机事件综合训练-高中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

典型例题一

例1　同时掷四枚均匀硬币，求：

　　（1）恰有两枚“正面向上”的概率；

　　（2）至少有两枚“正面向上”的概率．

　　分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上．

　解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：

　　　　（种）

（1）恰有两枚正面向上的结果总数为，

所以恰有两枚正面向上的概率为．

（2）至少有两枚正面向上的结果总数为：

种

所以至少两枚正面向上的概率为．

　　说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率，设两个事件分别为A、B，可以求到：．

典型例题二

例2　用4个不同的球任意投入4个不同的盒子内，每盒投入的球数不限，计算；

　　（l）无空盒的概率，（2）恰好有一空盒的概率．

　　分析：一次试验的结果是每个球分别在哪个盒子，由于一个球投入哪一个盒中是任意的，所以一次试验的各个结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题，4个不同小球投入4个盒子的结果总数可以用分步计数原理求得，无空盒的情况实质上相当于每个小球在一个盒中，每个盒子一个球，也就是把4个小球“分配到”4个不同的盆中，信有一个空盒的情况相当于有一个盒子两个球，还有两个盒子各1球，至于它们各自的结果总数可以用排列组合的方法解决．

　　解：本题是等可能事件的概率问题，4个不同的小球投入四个盆子的所有不同的结果总数为：．

　　（l）无空盒的结果总数为．

　　所以无空盒的概率为．

（2）恰有一个空盒，则必有一盒2球，另有两盒各1球，其所有可能结果总数为：

．

　　所以恰有一空盒的概率为：．

　　说明：由于每个小球投入哪一个盒子是任意的，从而导致4个小球投入4个盒子的不同结果是等可能的，现在把球换成人，盒子换成房间，则问题就转变成了若干人任意住进若干个房间的问题，这就是古典概率中有名的“分房问题”．

典型例题三

例3　有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率．

　　（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；

　　（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；

　　（3）事件C：指定的某个房间中有两人；

　　（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人．

　　 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为．事件A中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有种不同结果；事件B中恰有4个房间，每间1人与事件A的区别在于哪4间房不空；事件C中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人

解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：

（种）

（1）指定的4个房间每间1人共有种不同住法．

∴．

（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法．

∴．

（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：

（种），

∴．

（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：

（种），

∴．

　 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等．我们可以看例子：某班有50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为，则至少有两人在同一天生日的概率为，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果．

典型例题四

例4　某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问：

　　（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？

　　（2）三次内打开房门锁的概率是多少？

　　分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个．

　　解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是．

　　（1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为：．

　　所以恰好第3次打开房门的概率为：

　　（2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：3．

　　所以前3次打开房门的概率为：

　　说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：，恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为，从而前3次内打开房门的概率为：．

典型例题五

　　例5　抽签口语测试，共有a＋b张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a张，他是第k个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率．

　 分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题．由于某考生是第是次抽签，他能抽到会考考签相当于全排列中第k个元素，是某人会考的a个考签中的一个，我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数，然后用等可能事件的概率公式求解．

　　解：本题是等可能事件的概率问题．a＋b个考生的所有不同的抽签结果的总数

为，

　　某个考生第k次抽签，他正好抽到会考的a张考签的一个，相当于所有抽签的结果中第k张考签是a张考签中的1张，我们可以得到所有这种抽签结果的总数为：．

　　所以某个考生抽到会考考签的概率为：．

　　说明：从计算结果看，第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响，也就是说，无论他是第几个抽签，都不会影响他抽到会考考签的可能性．在日常生活中有这样的问题：10张彩票中有1张是中奖彩票，现在10个人去摸彩，先模后摸对中奖的可能性有无影响？现在我们可以来计算这个问题的结果，现在假定你是第m个去摸奖，为了计算中奖的概率，先算出10个人摸彩的所有可能结果是10！，而中奖彩票正好出现在第m个的所有可能结果为9！，这样可以得出你中奖的概率为，结果与m并无关系，根本无须担心中奖彩票被别人抓去．

典型例题六

　　例6　已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽取1只测试，测试后放回，求下列事件的概率．

　　（1）抽3次，第3只是正品；

　　（2）直到第6只时，才把2只次品都捡到了．

　　分析：每次从10件晶体管中任取1件，经过若干次，各种结果的可能性是一样的，抽 3次，所有可能抽出的结果总数为10×10×10，抽6次，所有可能抽出的结果总数为，到第6次时正好第2只次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次品，当然这只次品也可能出现过几次．我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为，这个式子的含义是先走下第6次抽出的次品是哪一个，然后用前5次抽检的所有结果总数（前5次未出现第6次抽检的次品）减去前5次全是正品的所有结果总数．

　　解：本题是等可能事件的概率问题．

　　（1）抽检3次所有可能的抽检结果总数为，

第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10×10×8．

　　所以第三只是正品的概率为：．

　　（2）抽检6次所有可能的抽检结果总数为．

　　 ∵　第6只时才能把第2只次品抽检到，

　　 ∴　前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少出现一次另一只次品．

　　 ∴　第6只时才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为　．

此事件发生的概率为：

．

　 说明：如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6只时才把2只次品都找出来的概率是多少？这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再拿回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为，第6次抽到第2件次品，说明第6件是次品，前面还有一件次品，所有可能的结果总数为，其含义是先在第6个位置放一个次品，另一个次品在前面5个位置的某一个上，最后在其它四个位置上放上8件正品中的4个．用等可能事件的概率公式可算出此事件发生的概率是．

典型例题七

例7　求100件产品中，有95件合格品，5件次品．从中任取3件，求：

(1)3件都是合格品的概率；

(2)3件都是次品的概率；

(3)2件是合格品、1件是次品的概率．

分析：可从集合的角度处理本题．需求出全集的元素个数及中各子集的元素个数．

解：从100件产品中任取3件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取3个元素的组合数．由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等．

(1)由于在100件产品中有95件合格品，取到3件合格品的结果数，就是从95个元素中任取3个元素的组合数，记“任取3件，它们都是合格品”为事件，那么事件的概率：

．

得件都是合格品的概率为．

(2)由于在100件产品中有5件次品，取到3件次品的结果数，就是从5个元素中任取3个元素的组合数．记“任取3件，它们都是次品”为事件，那么事件的概率：

．

得3件都是次品的概率为．

(3)记“任取3件，其中2件是合格品、1件是次品”为事件．由于在种结果中，取到2件合格品、1件次品的结果有种，故事件的概率：

得2件合格品、1件是次品的概率为．

说明：本题是产品抽取问题．抽取时，抽到其中的任何一件产品的可能性都相等，可用等可能事件的概率公式进行计算．

典型例题八

例8　现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．

(1)如果从中取出一件，然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正确的概率．

(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

解：(1)为返回抽样问题，每次抽样都有10种可能，根据分步计数原理，所有等可能出现的结果为种，设表示“三次返回抽样，所抽得的3件产品都是正品”，则所包含的结果根据分步计数原理有种．

∴．

(2)为不返回抽样问题，所有等可能出现的结果为种，设表示“一次抽3件，所抽得的产品都是正品”，则所包含的结果有，所以，

说明：求等可能事件的概率，在求时应注意种结果必须是等可能的，例如抛掷2枚均匀硬币，共出现种可能结果，如果认为只有“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种结果，那么显然这3种结果不是等可能的．

典型例题九

例9　箱中有个正品，个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，问取出的3个全是正品的概率是多少？

分析1：可以看作不放回抽样3次有顺序．

解法1：从个产品中不放回抽样有顺序，共有种方法，从个正品中不放回抽样3次有顺序，共有种不同抽法，可以取出3个正品的概率．

分析2：可以看作不放回抽样3次无顺序．

解法2：从个产品中不放回抽样3次无顺序，共有种方法，从个正品中取出3个正品的取法有，所求概率为：．

说明：关于不放回抽样可以看作有顺序（即排列问题），也可看作无顺序（组合问题），其结果是一样的．不论选用哪种方式，确定之后必须按同一方式去解决，否则会产生错误．

典型例题十

例10　5人并排坐在一起照像，计算：

(1)甲恰好坐在正中间的概率；

(2)甲、乙两人恰好坐在一起的概率；

(3)甲、乙两人恰好坐在两端的概率；

(4)甲坐在中间、乙坐在一端的概率．

分析：5人并排坐在一起照像，可有不同的坐法，这些坐法出现的可能性都是相等的，本题利用等可能事件的概率求解．

解：(1)设“甲恰好坐在正中间”的事件为，则．

得到甲恰好坐在正中间的概率为．

(2)“甲、乙两人恰好坐在一起”的事件为，则．

得到甲、乙两人恰好坐在一起的概率为．

(3)设“甲、乙两人恰好坐在两端”的事件为，则．

得到甲、乙两人恰好坐在两端的概率为．

(4)设“甲坐在中间、乙坐在一端”的事件为，则．

得到甲坐在中间、乙坐在一端的概率为．

典型例题十一

例11　一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从一副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率．

分析：至少有3张黑桃包括两种情况：“恰有3张黑桃”与“4张全是黑桃”．用这两种情况的取法总数除以52张牌中任取4张牌的取法总数．

解：从52张牌中任取4张，有种取法，即．

4张牌中至少有3张黑桃的取法有．

因此，取4张牌中至少有3张黑桃的概率是：．

说明：(1)若先取3张黑桃，有种取法，第4张黑桃从剩余49张中任取1张，这样所求概率为．错误原因在于分子计算中有重复现象．

(2)“至多”与“至少”的组合数可用分类法或排除法求．本例中可用52张中取4张的全部取法减去没有黑桃的取法，再减去恰有一张黑桃的取法，再减去恰有2张黑桃的取法，得求得．

典型例题十二

例12　某大学招收的15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班中去．

(1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？

(2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？

分析(1)：每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12名非优秀生中任选4名，共有种方法；乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下的8名非优秀生中选4名，共有种方法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生给丙班．有种方法．将15名新生平均分到甲、乙、丙三个班级共有种不同的分法．

解：每个班级分到1名优秀生，共有种不同的方法，将15名学生平均分到3个班级共有种不同方法，每班分配到1名优秀生的概率．

．

分析(2)：3名优秀生都分到甲班，共有种分法，乙班从剩下的10名之中选5名，剩下5名给丙班，共有种不同分法．同理，3名优秀生都分到乙班、丙班方法数均为．

解：3名优秀生都分到同一班级的概率为．

典型例题十三

例13　“齐鲁福利风采”彩票的模奖办法是选，即每一注彩票都是从中选个数构成。开奖时，先摇出个基本号码，再摇出个特殊号码．中奖方法如下：一等奖，所选个号码全部为基本号码；二等奖：所选个号码中有个是基本号码，而另一个必须是特殊号码（即）；三等奖：所选个号码中有个是基本号码，另一个随便；四等奖：所选个号码中有个是基本号码，个是特殊号码，另外个号码随便（即），依次类推．某人花元钱投了一注彩票，试计算该注彩票获一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是多少？

分析：这是一个典型的等可能性事件的概率问题，只需计算出、即可：投一注彩票，即是从个号码中选出个号码．

解：从个号码中选出个，即构成一注彩票，所有可能的选法共有种，即基本事件的总数：．

设开奖后摇出的基本号码是，特殊号码是．那么该注彩票获得一等奖的选法只有一种，即只能选，故，因此获一等奖的概率为：

．

该注彩票获二等奖的选法有种，即，因此获二等奖的概率为：

．

该注彩票获三等奖的选法有：，即，因此获三等奖的概率为：

．

说明：在日常生活中有很多现象都是随机现象，都可以用概率的知识来解释．在学习中应有意识地将所学知识运用于实际，既可提高学习兴趣，又可使自己的数学应用能力得到提高．

典型例题十四

例14　甲、乙二人参加法律知识竞答，共有道不同的题目，其中选择题道，判断题道，甲、乙两人依次各抽一题．

(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

分析：这也是一个等可能性事件的概率问题，只须算出、．注意这里是“甲、乙二人依次各抽一题”，故．

解：由题意：甲乙两人依次各抽一题，故所有可能的抽法是：

种．

(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的抽法有种，即．

∴这一事件的概率为．

(2)下面计算“甲乙两人中至少有一人抽到选择题”的抽法种数．

(法1)抽法分两类：①只有一人抽一选择题，抽法种数是；

②两人都抽到选择题，抽法种数是种，故总数为种．

(法2)先考虑反面：甲、乙两人都未抽到选择题，即都抽到判断题，则抽法种数是(种)，那么“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的抽法即为种．

因此．

∴该事件的概率为．

说明：本题难度并不大，基本上是直接应用概率公式．关键步骤是应用排列、组合的知识求出、，即所有可能结果的总数（基本事件的总数）和事件所包含的结果的总数．

典型例题十五

例15　十个号码号、号、…，号装于一袋中，从中任取三个，问大小在中间的号码恰为号的概率是多少？

分析：因每个号码被取出的可能性是相等的，故该题属于等可能性事件的概率．

解：从十个号码中任取三个，所有可能的取法有种，即．而三个号码中大小在中间的号码为，即为中间数，另外两数一个小于，一个大于，这样的取法有种，即．

∴所求事件的概率是．

说明：利用等可能事件的定义求概率，不要忘记等可能事件的两大特征：基本事件总数有限及基本事件的发生等可能．本部分的题目都属这种类型，即简单而又常用的古典概型．

典型例题十六

例16　同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点、点、点的概率是多少？

分析：属等可能性事件．为简单明了起见，可以认为两只骰子是编了号的、不同的骰子．

解：将两只骰子编号为号、号，同时抛掷，则可能出现的情况有种，即．

出现点的情况有，，，，，

∴；∴概率为．

出现点的情况有，，，，，，

∴，∴概率为．

出现点的情况有，，，，，

∴，∴概率为．

说明：骰子是用来赌博的工具，赌博中也有不少的学问．事实上“概率论”就起源于世纪中叶风行欧洲的赌博活动．我们用概率的知识可以揭穿赌博中“输赢”的实质：虽然都是随机现象，但发生的概率是不一样的．如该题中出现点的概率就最大，因此赢的可能性就最大．还可以计算出现点和点的概率最小，都是，因此赢的可能性最小．

典型例题十七

例17　有一摆地摊的赌主，拿了个白的、个黑的围棋子放在一个布袋中，他精心绘制了一张中彩表：凡愿摸彩者，每人每次交元“手续费”，然后一次从袋中摸出个棋子，中彩情况如下表所列．

问：按摸次统计，赌主可净赚多少钱？

分析：在试验次数足够多时，事件发生的频率将近似地等于其固有概率．因此我们可以将各个事件的概率（即中彩概率）近似地代替现实情景中事件真实发生的频率．

解：容易算出，摸到个白子的概率为；摸到个白子的概率为；摸到个白子的概率为．按照次摸彩来计算，赌主手续费收入为元，而他支付的彩金（包括纪念品）大约是：

(元)．即每摸次彩，赌主可净赚元左右．

说明：摸彩虽是一种“机会游戏”，可能有的人较幸运，摸中头彩，但这样的情况不会很多，事件的发生是受内部规律性制约的．当摸彩次数越多，情况就越接近理论值，将事件发生的概率乘以摸彩次数，即得到该事件发生的次数（理论值，实际值可能在这个值附近波动）．由此可推算出赌主的获利情况．当然，赌主总是最后的赢家．

典型例题十八

例18　袋中有只黑球，只白球，它们除颜色不同外，没有其他差别．现在把球随机地一只一只摸出来，求第次摸出的球是黑球的概率（）．

分析：只球随机摸出，属古典概型．但由于选取的基本事件全体不同，可产生不同的解法．

解法一：把只考虑第次摸出球的每一种可能作为基本事件．不妨设只球都编上了号码：．当第次摸球时，每只球都有摸到的可能，故第次摸出球的所有可能有种（特殊地，可考虑当时的情形，此时较易理解），即本事件总数为，而第次摸到黑球所包含的基本事件数为，故

．

解法二：把只球都看作是不同的（设编号为）．我们假想袋中的只球全部排成了一列，则摸球时从一端开始依次取一只球即可，直至把球全部取完，这样，只球的一种排法就对应着一种摸法．我们把只球所有不同的排法作为基本事件全体，其总数为；第只球恰为黑球的排法为．所以，

．

解法三：把只球都看作是不同的．将前次摸球所有不同的可能作为基本事件全体，其总数为，则“第次摸到黑球”所包含的基本事件数为，故

．

解法四：对同色球不加区别，仍假想袋中的只球排成了一列，摸球时从一端起一次摸一只，直至摸完．把只相同的黑球在个位置上所有不同的排法作为基本事件全体，其总数为，则“第个位置是黑球”所包含的基本事件数为，故

说明：该问题实际上是“抽签原理”的一种推广．抽签有先有后，但对每个抽签者而言，机会都是平等的，即若在张票中有张奖票，个人每人抽一张，则每人抽中奖票的概率都是，与抽票的顺序无关．若在张票中有张奖票，结论也是一样的，每人抽中奖票的概率都是．因此在该题中，要从个黑球个白球中摸出一个黑球，其概率都是，与第几次摸无关．

典型例题十九

例19　有个指定的席位，坐在个席位上的人都不知道自己指定的号码，当这个人随机地在这个席位上就坐时．

(1)求个人中有个人坐在指定的席位上的概率；

(2)若要这个人坐在自己指定的席位上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？

分析：个人坐个位子，共有种不同的坐法，每一种坐法可作为一个基本事件．

解：取个人坐个位子所有可能的坐法为基本事件全体，则基本事件总数为．

(1)“个人中有个人坐在自己指定的席位上”，记为事件，它包含的基本事件数为．所以．

(2)“个人中有个人坐在自己的席位上”，记为事件，它包含的基本事件数为．

所以．

故符合题中条件时，至多有人坐在自己指定的席位上．

说明：求概率的题目，找准“基本事件”很重要，因此一定要明确以什么“事件”作为基本事件，某事件所包含的基本事件必须与此相对应．比如本题以“个人坐个位子”的每一种坐法为一个基本事件（共个），那么需要计算“有个人坐在指定的位子上”共有多少种坐法：从个人中任选人（有种选法），这人坐在自己的位子上，坐法就定了，而另外人都不坐在自己的位子上，只有种坐法，故坐法总数是．第(2)小题同理．需要注意的一个事实是：坐在自己指定位子上的人越多，其发生的概率就越小，反之概率越大．我们可以凭感觉得出这一结论．因此第(2)小题要求是“至多”有几人坐在自己指定的席位上．