典型例题一
例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．1或3
分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：
答案：D．
说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．
典型例题二
例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．
分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面
，另两条确定平面
，再证平面，重合．
已知：
，
，
，
．
求证：直线
，
，
，
共面．
证明： ∵ 
，
∴ ，确定一个平面．
∵ ，，
∴ 
，
，故
．
又 ∵ 
， ∴ ，确定一个平面．
同理可证
．
∴ 
，且
．
∵ 过两条相交直线，有且只有一个平面，故与重合
即直线，，，共面．
说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明
时，也可以用如下反证法证明：
假设直线
，则一定与相交，此时直线与内的所有直线都不会平行，这显然与矛盾．故．
典型例题三
例3 已知
在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于
，
，
三点，证明，，三点在同一条直线上．
分析：如图所示，欲证，，三点共线，只须证，，在平面和平面的交线上，由，，都是两平面的公共点而得证．
证明：∵ 
，
，
∴ 
是平面与平面
的交线．
又 ∵ 
，
∴ 
且
平面，
∴ 
，
∴ ，，三点共线．
说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．
典型例题四
例4 如图所示，与
不在同一个平面内，如果三直线
、
、
两两相交，证明：三直线、、交于一点．
分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．
证明：由推论2，可设与，与，与分别确定平面，，
．
取
，则
，
．
又因
，则
（公理2），
于是
，
故三直线、、共点．
说明：空间中证三线共点有如下两种方法：
（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．
（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．
典型例题五
（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？
（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
分析：（1）可利用公里3判定。
（2）可利用公里3的推论3判定。
（3）需进行分类讨论判定。
解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。
（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面。
（3）共点的三条直线可以确定1个或3个平面。
说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。
平面的确定问题
主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。
典型例题六
例6 
、
、
为空间三点，经过这三点：
A．能确定一个平面 B．能确定无数个平面
C．能确定一个或无数个平面 D．能确定一个平面或不能确定平面
分析：本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理3及三个推论．
解：由于题设中所给的三点、、并没有指明这三点之间的位置关系，
所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．
当、、三点共线时，经过这三点就不能确定平面，
当、、三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选D．
说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面．
典型例题七
例7 判断题（答案正确的在括号内打“√”号，不正确的在括号内打“×”号）．
(1)两条直线确定一个平面；（ ）
(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（ ）
(3)两两相交的三条直线不共面；（ ）
(4)不共面的四点中，任何三点不共线．（ ）
分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论．两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直线不能确定平面；
(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一定能确定平面；
(3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；
(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面．
解：(1)× (2)× (3)× (4)√．
说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面．那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？
典型例题八
例8 如图，在正方体
中，点
、
分别是棱、的中点，试画出过点
、、三点的截面．
分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线．
解：连
并延长与
的延长线交于点
，连结
与
的延长线交于点
，连结
与
、
两条棱交于点，连结
、
，则
就是过点、、三点的截面．
说明：本题亦可以证明点、、、四点共面．若、不是棱
与
的中点，则作图过程中不一定过点，所画的截面多边形可能是五边形．
典型例题九
例9 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)平行四边形是一个平面．
(2)任何一个平面图形都是一个平面．
(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．
解：(1)不正确．平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的．
说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．
(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的．
说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念．
(3)不正确．在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线（无论是题中原有的，还是后引的辅助线）．
说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然．有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养．
典型例题十
例10 按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的线段，分别是两个平面的交线．
解：由两个相交平面的画法：本题只须过线段的端点画出与交线平行且相等的线段，即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可如下图所示．
说明：(1)画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础．
(2)画空间图形的过程，是培养我们空间想象能力的过程，一定要认真对待，决不可以掉以轻心．
典型例题十一
例11 (1)一个平面将空间分成几部分？
(2)两个平面将空间分成几部分？
(3)三个平面将空间分成几部分？画出图形，（要求：至少有两种情况有画法过程）
解：(1)一个平面将空间分成两部分．
(2)两个平面平行时，将空间分成三部分，两个平面相交时，将空间分成四部分．
(3)本小题情况比较复杂，须分类予以处理．
情况1：当平面、平面、平面互相平行（即
），将空间分成四个部分，其图形如右图．
情况2：当平面与平面平行，平面与它们相交（即
，与其相交），将空间分成六部分，其图形如下图．
画法是：
情况3：当平面、平面、平面都相交，且三条交线重合（即且
）
将空间分成六部分，其图形如下图．
说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态．
情况4：平面、平面、平面都相交且三条交线共点，但互不重合．（即，且与、都相交，三条交线共点）．将空间分成八部分，其图形如下图．
画法是：
情况5：平面、平面、平面两两相交且三条交线平行（即，与、都相交且三条交线平行）．将空间分成七部分，其图形如下图．
说明：1．本小题(3)，在解答过程中，采用了简单到复杂递进的处理方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第三个平面以不同情况介入，然后分类解决．
2．通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高．
3．本题是一个基础性很强的问题，无论是对立体图形的画法以及空间想象能力的形成都大有裨益．
典型例题十二
例12 下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）．
解：对于A，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确．
同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．
D的图形画法正确．
∴应选D．
说明：对空间图形的准确辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分，一定要注意这方面能力的锻炼．
典型例题十三
例13 观察下图，说明图形中的不同之处．
解：上面的图形都是由九条线段构成的图形、外形似乎相似．
仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体．
A图是一个簸箕形图形；B图是体，是三棱柱；C图也是体，也是三棱柱．
B图如果看作是从三棱柱的正面观察，C图则可看作是从三棱柱的后面观察．
说明：在立体几何中，一定要明确画图过程中哪条线画实线，哪条线画虚线．要记住：能够看得到的线一定画成实线，被挡住的看不到的线画成虚线．
下面再给出两组图形如下图所示，请同学们予以辨识，指出它们有什么不同．
典型例题十四
例14 若点在直线上，在平面内，则、、之间的关系可记作（ ）．
A．
B．
C．
D．
解法1：（直接法）
∵点在直线上，∴
，
∵直线在平面内，∴
，
∴．
∴应选B．
解法2：（排除法）
∵点与直线之间的关系是元素与集合之间的关系，
∴只能用符号“
”或“
”表示，
∴C、D应予排除．
∵直线与平面之间是集合与集合之间的关系，
∴只能用符号“
”或“
”表示，
∴A应予以排除．
综上可知应选B．
说明：要能正确地使用点、直线、平面之间关系的符号语言．
典型例题十五
例15 用符号语言表示下列语句
(1)点在平面内，但在平面
外；
(2)直线经过平面外一点
；
(3)直线在平面内，又在平面内，即平面和相交于直线．
解：(1)但
．
(2)
，
．
(3)
且
，即
．
说明：符号语言比较简洁、严谨，可大大的缩短文字语言表达的长度，有利于推理、计算．
典型例题十六
例16 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并用用图形语言予以表示．
．
分析：本题实质是数学三种语言——符号语言、文字语言、图形语言的互译．
解：文字语言叙述为：
点在平面与平面的交线上，、
分别在、内．
图形语言表示为如图：
说明：文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．
图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．
各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．有利于培养我们思维的广阔性．
典型例题十七
例17 如下图中，若、在平面内，判断是否在平面内．
解：∵在平面内，
∴点一定在平面内．
∵在平面内，
∴点一定在平面内．
∴点、点都在平面内．
∴直线在平面内（公理1）．
说明：公理1可以用来判断直线是否在平面内．
典型例题十八
例18 如下图，在正方体中，、分别为和上的中点，画出平面与平面
的交线．
分析：可根据公理2，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条直线，也只有这一条直线；这条直线的位置还须借助于另一个条件来确定．
解：在平面
内，延长，
∵与不平行，
因此与必相交于一点，设为
则
，
．
又∵
平面，
平面内，
∴
平面，平面．
又为平面与平面的公共点，
∴连结
，即为平面与平面的交线．
说明：公理2是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线．同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才确定这两个平面的交线．这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法．
典型例题十九
例19 已知、、、分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内．所组成的空间图形叫空间四边形．）各边、
、
、
上的点，且直线
和
交于点，如下图，求证：点、
、在同一条直线上．
证明：如图
∵直线
直线
，
∴直线，而平面
，
∴平面．
同理，平面
，即点是平面和平面的公共点．显然，点、也是平面和平面的公共点，由公理2知，点、、都在平面和平面的交线上，即点、、在同一条直线上．
说明：证明三点共线通常采用如下方法：
方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2知，这些点都在交线上．
方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．