典型例题一
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）
（2）
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：（1）
，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
（2）原抛物线方程为：
，
①当
时，
，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是
，准线方程是：
．
②当
时，
，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是：．
综合上述，当
时，抛物线
的焦点坐标为，准线方程是：．
典型例题二
例2 若直线
与抛物线
交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
解法一：设
、
，则由：
可得：
．
∵直线与抛物线相交，
且
，则
．
∵AB中点横坐标为：
，
解得：
或
（舍去）．
故所求直线方程为：
．
解法二：设、，则有
．
两式作差解：
，即
．
，
故或（舍去）．
则所求直线方程为：．
典型例题三
例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．
分析：可设抛物线方程为
．如图所示，只须证明
，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．
证明：作
于
于
．M为AB中点，作
于
，则由抛物线的定义可知：
在直角梯形
中：
，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
典型例题四
例4（1）设抛物线
被直线
截得的弦长为
，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．
解：（1）由
得：
设直线与抛物线交于与两点．则有：
，即
（2）
，底边长为，∴三角形高
∵点P在x轴上，∴设P点坐标是
则点P到直线
的距离就等于h，即
或
，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
典型例题五
例5 已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．
分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明
且
即可．
证明：如图所示，连结PA、PN、NB．
由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．
∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有．
则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．
典型例题六
例6 若线段
为抛物线
的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：
．
分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．
证法一：
，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，
则有
,
．
若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：
，且设
．
由
得：
①
②
根据抛物线定义有：
则
请将①②代入并化简得：
证法二：如图所示，设
、
、F点在C的准线l上的射影分别是
、
、
，且不妨设
，又设点在
、
上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，
又
∽
，
即
故原命题成立．
典型例题七
例7 设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为
，求证：焦点弦长为
．
分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．
证法一：抛物线的焦点为
，
过焦点的弦AB所在的直线方程为：
由方程组
消去y得：
设
，则
又
即
证法二：如图所示，分别作
、
垂直于准线l．由抛物线定义有：
于是可得出：
故原命题成立．
典型例题八
例8 已知圆锥曲线C经过定点
，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为
，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆
相交于不同的两点，求
（1）AB的倾斜角
的取值范围．
（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．
分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．
解：（1）由已知得
．故P到的距离
，从而
∴曲线C是抛物线，其方程为．
设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点．
∴k存在．设AB的方程为
由
可得：
设A、B坐标分别为
、
，则：
∵弦AB的长度不超过8，
即
由
得：
∵AB与椭圆相交于不同的两点，
由和
可得：
或
故
或
又
，∴所求的取值范围是：
或
（2）设CD中点
、
、
由得：
则
即
．
化简得：
∴所求轨迹方程为：
典型例题九
例9 定长为3的线段
的端点
、
在抛物线
上移动，求的中点到
轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：如图，设
是的焦点，、两点到准线的垂线分别是
、
，又
到准线的垂线为
，
、
和
是垂足，则
．
设点的横坐标为
，纵坐标为，
，则
．
等式成立的条件是过点．
当
时，
，故
，
，
．
所以
，此时到轴的距离的最小值为
．
说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
典型例题十
例10 过抛物线
的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求
的最小值．
分析：本题可分
和
两种情况讨论．当时，先写出的表达式，再求范围．
解：(1)若，此时
．
(2)若，因有两交点，所以
．
，即
．
代入抛物线方程，有
．
故
，
．
故
．
所以
．因，所以这里不能取“=”．
综合(1)(2)，当时，
．
说明：
(1)此题须对分和两种情况进行讨论；
(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为
；
(3)当时，叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．
典型例题十一
例11 过抛物线
的焦点作弦，
为准线，过、作的垂线，垂足分别为
、
，则①
为（ ），②
为（ ）．
A．大于等于
B．小于等于 C．等于 D不确定
分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．
解：①点在抛物线上，由抛物线定义，则
，
又
轴
．
∴
，同理
，
而
，∴
，
∴
．选C．
②过中点作
，垂中为
，
则
．
∴以为直径的圆与直线相切，切点为．
又
在圆的外部，∴
．
特别地，当
轴时，与重合，
．
即
，选B．
典型例题十二
例12 已知点
，为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上移动，当
取最小值时，点的坐标为__________．
分析：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．
解：如图，
由定义知
，故
．
取等号时，、、
三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以点坐标为
．
说明：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换．