典型例题一
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？
解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程
联立，解出
直线OP的方程为
即
令
，得M点纵坐标
得证．
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．
思路二：利用命题“如果过抛物线
的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为
、
，那么
”来证．
设
、
、
，并从及
中消去x，得到
，则有结论，即
．
又直线OP的方程为
， ，得
．
因为在抛物线上，所以
．
从而
．
这一证法运算较小．
思路三：直线MQ的方程为
的充要条件是
．
将直线MO的方程
和直线QF的方程
联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去
的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．
典型例题二
例2 已知过抛物线
的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以
为三角形的底，只要确定高的最大值即可．
解：设AB所在的直线方程为
．
将其代入抛物线方程，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．
设直线l方程为
．代入抛物线方程得
由
得
，这时
．它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为
．
典型例题三
例3 直线
过点
，与抛物线
交于
、
两点，P是线段的中点，直线
过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k．
（1）将直线
的斜率与直线
的斜率之比表示为k的函数
；
（2）求出的定义域及单调区间．
分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间．
解：（1）设的方程为：
，将它代入方程
，得
设
，则
将
代入得：
，即P点坐标为
．
由，知焦点
，∴直线的斜率
∴函数
．
（2）∵与抛物线有两上交点，∴
且
解得
或
∴函数
的定义域为
当
时，为增函数．
典型例题四
例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．
证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．
设C、D的坐标分别为
与
．则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点
在直线l上，
即
，化简得：
由
知
得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．
证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，∴
由抛物线定义，
到抛物线的准线的距离相等．
∵
，
∴CD的垂直平分线l：
与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．
典型例题五
例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．
分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点
；待求得
的关系后再用动点坐标
来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．
解法一：设
则：
，
，
即
，
①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：
显然
代入
化简整理得：
，
②
由①、②得：
，化简得
用x、y分别表示得：
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设
，则以OA为直径的圆方程为：
①
设
，OA⊥OB，则
在求以OB为直径的圆方程时以
代
，可得
②
由①＋②得：
典型例题六
例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点
，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，
，
，且
，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：
其中
、
为A、B的横坐标
令
则
，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得
或
∵△AMN为锐角三角形，∴
，则
，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
典型例题七
例7如图所示，设抛物线
与圆
在x轴上方的交点为A、B，与圆
在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求
．（2）求△ABQ面积的最大值．
分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出．
解：（1）设
由
得：
，
由
得
，
同类似，
则
，
（2）
，∴当
时，
取最大值
．
典型例题八
例8 已知直线
过原点，抛物线
的顶点在原点，焦点在
轴的正半轴上，且点
和点
关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．
分析：设出直线和抛物线的方程，由点
、
关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设
，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．
解法一：设抛物线的方程为
，直线的方程为
，
则有点，点关于直线的对称点为
、
，
则有
解得
解得
如图，
、
在抛物线上
∴
两式相除，消去
，整理，得
，故
，
由
，
，得
．把代入，得
．
∴直线的方程为
，抛物线的方程为
．
解法二：设点、关于的对称点为、，
又设，依题意，有
，
．
故
，
．
由
，知
．
∴
，
．
又
，
，故
为第一象限的角．
∴
、
．
将、的坐标代入抛物线方程，得
∴
，即
从而
，
，
∴，得抛物线的方程为．
又直线平分
，得的倾斜角为
．
∴
．
∴直线的方程为．
说明：
(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．
典型例题九
例9 如图，正方形
的边
在直线
上，、
两点在抛物线
上，求正方形的面积．
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．
解：∵直线
，
，∴设
的方程为，且
、
．
由方程组
，消去，得
，于是
，
，∴
(其中
)
∴
．
由已知，为正方形，
，
∴
可视为平行直线与间的距离，则有
，于是得
．
两边平方后，整理得，
，∴
或
．
当时，正方形的面积
．
当时，正方形的面积
．
∴正方形的面积为18或50．
说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．
典型例题十
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为
时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为
，求这彗星与地球的最短距离．
分析：利用抛物线有关性质求解．
解：如图，设彗星轨道方程为，，焦点为
，
彗星位于点
处．直线
的方程为
．
解方程组
得
，
故
．
．
故
，得
．
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为
，所以彗星与地球的最短距离为
或
，（
点在
点的左边与右边时，所求距离取不同的值）．
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解；
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有
，当
时，
最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．
典型例题十一
例11 如图，抛物线顶点在原点，圆
的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求
的值．
分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．
解：由圆的方程，即
可知，圆心为
，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为
，
∵
为已知圆的直径，∴
，则
．
设
、，∵
，而、在抛物线上，
由已知可知，直线方程为
，于是，由方程组
消去
，得
，∴
．
∴
，因此，
．
说明：本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成
是关键所在，在求
时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．