典型例题一
例1 直线
过点
（－1，3），倾斜角的正弦是
，求直线的方程．
分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．
解：因为倾斜角
的范围是：
又由题意：
，
所以：
，
直线过点（－1，3），由直线的点斜式方程得到：
即：
或
．
说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．
典型例题二
例2 求经过两点
（2，
）和
（
，3）的直线方程．
分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到与2的分类；如果选用两点式，还要涉及与3的分类．
解：法一：利用直线的两点式方程
∵直线过两点（2，）和（，3）
（1）当
时，点的坐标是（2，3），与点（，3）的纵坐标相等，则直线
的方程是
；
（2）当
时，点的坐标是（2，3）,与点（2，）的横坐标相等，则直线的方程是
；
（3）当
，
时，由直线的两点式方程
得：
法二：利用直线的点斜式方程
（1）当时，点
的横坐标相同，直线垂直与
轴，则直线的；
（2）当时，过点的直线的斜率是
，
又∵过点（2，）
∴由直线的点斜式方程
得过点的直线的方程是：
说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．
典型例题三
例3 把直线方程
化成斜截式______，化成截距式______．
分析：因为
，即
，
，
，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．
解：斜截式为
，截距式为
+
＝1
说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．
典型例题四
例4 直线
的倾斜角的取值范围是_____________．
分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于
的一个三角不等式即可．
解：已知直线的方程为
，其斜率
．
由
，得
，
即
．
由
，得
．
说明：解题易得出错误的结果
，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．
典型例题五
例5 直线
经过点
，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．
解法一：由于直线在两轴上有截距，因此直线不与
、
轴垂直，斜率存在，且
．
设直线方程为
，
令
，则
，令
，则
．
由题设可得
，解得
或
．
所以，的方程为
或
．
故直线的方程为
或
．
解法二：由题设，设直线在、轴的截距均为
．
若
，则过点
，又过点，
∴的方程为
，即：．
若
，则设为
．
由过点，知
，故
．
∴的方程．
综上可知，直线的方程为或．
说明：对本例，常见有以下两种误解：
误解一：如下图，由于直线的截距相等，故直线的斜率的值为
．若
，则直线方程为
；若，则直线方程为．故直线方程为
或．
误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为．由直线过点，得，即，也即方程为．
在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当时，直线
的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．
典型例题六
例6 已知在第一象限的
中，
、
，
，
，求：
(1)
边的方程；(2)
和
所在直线的方程．
分析：(1)当直线与轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知、的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．
解：(1)如图，的方程为
．
(2)由∥轴，且在第一象限知
的斜率
，的斜率
．
所以，边所在直线的方程为
，即
．
边所在直线的方程为
，即
．
说明：(1)边是一条线段，要注意变量的取值范围．(2)解题中，要注意画出图形，便于直观地得到所求直线所具备的条件．
典型例题七
例7 若的顶点
，
，
，求
的平分线
所在的直线的方程．
分析：两个条件确定一条直线．要求的方程，已知点
的坐标，只要再找出的斜率或点
的坐标就可以了．在三角形中，的平分线有下列性质：(1)
；(2)上任一点到两边、的距离相等；(3)
．用其中任何一个性质，都可以确定第二个条件．
解法一：∵
，
，
∴分
所成的比为
．
设的坐标为
，则：
，
，
即
．
由两点式得的方程为
，即
．
解法二：直线到的角等于到的角，
，
．
设的斜率为
(
或
)，则有
．
解得
或
（舍去）．
∴直线的方程为
，即
．
解法三：设直线上动点
，则
点到、的距离相等，即：
，
∴
或
结合图形分析，知是的角的外角平分线，舍去．
所以所求的方程为．
说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容，其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式，要加强这方面的训练．
(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来，作为方法积累．
典型例题八
例8 求过点
且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；
(2)与轴和轴分别交于、
两点，且
．
分析：对于(1)，既可借助于截距式求解，也可以利用点斜式来求解；对于(2)，利用截距式求解较为简便．
解法一：设所求的直线方程为
．
由直线过点，得
，即
．
又
，故
．
联立方程组
解得
或
．
故所求直线方程为
和
，即：
和
．
解法二：设所求直线方程为
，它与两坐轴的交点为
，
．
由已知，得
，即
．
当
时，上述方程可变成
，
解得
，或
．
由此便得欲求方程为
和．
(2)解：由是的分点，得
．
设点、的坐标分别为
，
．
当是的内分点时，
．
由定比分点公式得
，
．
再由截距式可得所求直线方程为
．
当点是的外分点时，
．
由定比分点公式求得
，
．
仿上可得欲求直线方程为
．
故所求的直线方程为，或．
说明：对于(1)，应注意对题意的理解，否则，就较易得到，且
，从而遗漏了
的情形；对于(2)，应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时，可画出草图直观地加以分析，防止漏解．
求直线的方程时，除应注意恰当地选择方程的形式外，还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率；截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0；两点式的限定条件是直线不与轴垂直，也不与轴垂直．除此以外，还应注意直线方程形式之间的相互转化．
典型例题九
例9 已知两直线
和
的交点为
，求过两点
、
的直线方程．
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答．
解法一：∵在已知直线上，
∴
∴
，即
．
故所求直线方程为
．
∴
，即
．
解法二：∵点在已知直线上，
∴
可见
、
都满足方程，
∴过
、
两点的直线方程为．
说明：解法二充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线方程；反之，若点的坐标满足方程，则直线一定过这个点”．此解法独特，简化了计算量，能培养学生的思维能力．
典型例题十
例10 过点
引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程．
分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程．
解法一：设所求的直线方程为
．
显见，上述直线在轴、轴上的截距分别为
、
．
由于
，且
可得
．
直线在两坐标轴上的截距之和为：
，当且仅当
，即
时，
最小值为9．
故所求直线方程为
，即
．
解法二：设欲求的直线方程为
(
，
)．
据题设有
， ①
令
． ②
①×②，有
．
当且仅当
时，即
，且，也即
，
时，取等号．
故所求的直线方程为
，即．
说明：在解法一中，应注意到这个隐含条件．否则，由
，将很有可能得出错误的结果．如
，
等等．
在解法二中，应注意运算过程中的合理性，即讲究算理，不然，将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由①，用来表示
，再代入②中，把化归成的函数．从解题思维方法上说无可厚非，但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．
典型例题十一
例11 已知
，其中
、
是实常数，求证：直线
必过一定点．
分析与解：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为
，可知
，
即为方程的一组解，所以直线过定点（6，4）．
说明：此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法．
典型例题十二
例12 直线过点
（2，1），且分别交轴、
轴的正半轴于点、．点
是坐标原点，（1）求当
面积最小时直线的方程；（2）当
最小时，求直线的方程．
解：（1）如图，设
，
，的面积为
，则
并且直线的截距式方程是
＋
＝1
由直线通过点（2，1），得
＋
＝1
所以:
＝
＝
因为点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式右端的分母
．由此得:
当且仅当
，即
时，面积取最小值4，
这时
，直线的方程是:
＋
＝1
即:
（2）设
，则＝
，＝
，如图，
所以 ＝＝
当
＝45°时有最小值4，此时
，直线的方程为
．
说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．
典型例题十三
例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．
解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：
＝
即
＝0.0025
＋10.4000
当
＝25°时 ＝0.0025
＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031
即当＝25°时，铁棒长为10.4031米．
说明：直线方程在实际中应用非常广泛．
典型例题十三
例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．
解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：
＝
即
＝0.0025＋10.4000
当＝25°时 ＝0.0025＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031
即当＝25°时，铁棒长为10.4031米．
说明：直线方程在实际中应用非常广泛．