典型例题一
例1 比较
与
的大小，其中
．
解：
，
，
，
，
∴
．
说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①
；
②
；③
．
典型例题二
例2 比较
与
的大小，其中
解：
，
，
，
，
，
∴
当
时，
；
当
时，
说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
典型例题三
例3 ，比较
与
（
）的大小．
分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．
解：∵=
（
）
，
，
∴
．
则有时，
（）恒成立．
说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．
典型例题四
例4 设，比较
与
的大小．
解：作差
，
1）当
时，即
，
∴
；
2）当
，即
时，
，
∴
；
3）当
但
，即
或
时，
，
∴
．
说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．
典型例题五
例5 比较
与
的大小
分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。
解：
说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．
典型例题六
例6 设
，且
，比较：
与
的大小。
分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。
解：
当
时，
，
当
时，
即
，
又
，
说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7 实数
满足条件：①
；②
；③
，则有( )
A．
B．
C．
D．
（天津市2001年南开中学期末试题）
分析：先由条件②③分析出
与
的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．
解：∵，∴与
同侧
∵，∴与
异侧
∵
∴把标在数轴上，只有下面一种情况
由此得出，∴此题选D．
说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．
典型例题八
例8 已知①
；②
，求：
的取值范围．
分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用
和
表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围．
解：设：
由①+②×2得：
：
．
说明：此题的一种典型错误做法，如下：
，即：
：
此解法的错误原因是因为
与
是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当
取到最大值或最小值时，
不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．
典型例题九
例9 判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）若
，则
（2）若
，则
（3）若
，则
（4）若
，则
（5）若
，则
（6）若
，则
分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．
解：（1）
，是真命题．
（2）可用赋值法：
，有
，是假命题．
也可这样说明：
，
∵ ，只能确定
，
但
的符号无法确定，从而
的符号确定不了，所以
无法得到，实际上有：
（3）与（2）类似，由
，从而
是假命题．
（4）取特殊值：
有
，∴ 是假命题．
定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即
（5）
， ∴是真命题．
（6）定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
，则有
说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．
典型例题十
例10 求证：
分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．
证明：利用不等式的性质，得
典型例题十一
例11 若，则下面不等式中成立的一个是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D） 正是异向不等式相减的结果．
说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．
典型例题十二
例12 若
，则下面各式中恒成立的是（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即
，
和
，根据不等式的性质，可得
，
，继而得到
且，故，因此选A．
典型例题十三
例13 若
，则一定成立的不等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：A错，当
时有
；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．
故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是
），原不等式成立．
说明：这类题可以采用特例法：令
即得C成立．
典型例题十四
例14 已知：
，求证：
．
分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
证明：
又
∴由同向加性可得：．
说明：此题还可采用异向减性来处理：
做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．
典型例题十五
例15已知集合
求：
．
分析：要求，需要先求集合
和
，从已知来看，的范围容易求，的元素由
可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：
说明：本题中的条件
，意在明确集合中的元素为
，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，
的实数和的整数显然是有区别的．另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清．
典型例题十六
例16 设和都是非零实数，求不等式和
同时成立的充要条件．
分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则成立的条件就是本身；而成立的条件则是
与
同号，且
，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．
解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件．
由
，得
由
可知
，再由
知
，即与异号，因此
是不等式与
同时成立的必要条件．
再求，同时成立的充分条件．
事实上，当时，必有，且
，因而成立．从而是不等式，同时成立的充分条件．
因此，两个不等式，同时成立的充要条件是．
说明：本题结果表明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数．这与成立的条件
，
不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若，同时成立，则要研究从不等式和看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立．从而解决了本题．
典型例题十七
例17 已知函数
满足：
则
应满足（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
分析：如果能用
与
将“线性”表示出：
，就可利用不等式的基本性质，由、的取值范围，推出满足的条件．
解：∵
∴
故
由不等式的基本性质，得
故选（C）.
说明：（1）也可设，由代定系数法求得
，
．
（2）下面的错误是值得引以为戒的∵
又 
∴ 
故选（A）
上述推理错误产生的原因是由于将条件
化为
使、的取值范围扩大所致．事实上，作为点集
与
之间的关系是
，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误．