典型例题一
例1 若
，证明
（
且
）．
分析1 用作差法来证明．需分为
和
两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．
解法1 （1）当
时，
因为 
，
所以 
．
（2）当
时，
因为
所以
．
综合（1）（2）知．
分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．
解法2 作差比较法．
因为
，
所以．
说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．
典型例题二
例2 设
，求证：
分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．
证明：
∵，∴
∴
.
∴
又∵
，
∴.
说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
典型例题三
例3 对于任意实数
、
，求证
（当且仅当
时取等号）
分析
这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有
，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：
出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明：∵ （当且仅当
时取等号）
两边同加
，
即：
（1）
又：∵ （当且仅当时取等号）
两边同加
∴ 
∴ 
（2）
由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．
说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．
典型例题四
例4 已知、、
，
，求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把
通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如
，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．
证明：∵
∴ 
∵
，同理：
，
。
∴ 
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．
典型例题五
例５ 已知
，求证：
＞0.
分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.
证明一：(分析法书写过程)
为了证明＞0
只需要证明
＞
∵
∴
∴
＞0
∴＞成立
∴＞0成立
证明二：(综合法书写过程)
∵ ∴
∴
＞ 
＞0
∴＞成立
∴＞0成立
说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.
典型例题六
例6 若
，且
，求证：
分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．
证明：为要证
只需证
，
即证
，
也就是
，
即证
，
即证
，
∵
，
∴
，故
即有
，
又
由可得成立，
∴
所求不等式
成立．
说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．
典型例题七
例7 若
，求证
．
分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．
证法一：假设
，则
，
而
，故
．
∴
．从而
，
∴
．
∴
．
∴
．
这与假设矛盾，故．
证法二：假设
，则
，
故
，即
，即
，
这不可能．从而．
证法三：假设，则
．
由，得
，故
．
又
，
∴
．
∴
，即
．
这不可能，故．
说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．
一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．
典型例题八
例8 设
、
为正数，求证
．
分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．
证明：要证，只需证
，
即证
，
化简得
，
．
∵
，
∴
．
∴．
∴原不等式成立．
说明：1．本题证明易出现以下错误证法：
，
，然后分(1)
；(2)
；(3)
且
；(4)
且
来讨论，结果无效．
2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是
，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．
典型例题九
例9 已知
，求证
．
分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．
证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数
．
∵，
∴可设
，
，其中
．
∴
．
由
，故
．
而
，
，故．
说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为
或
或
时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．
典型例题十
例10 设
是正整数，求证
．
分析：要求一个项分式
的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
证明：由
，得
．
当
时，
；
当
时，
……
当
时，
．
∴
．
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明
．由
，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．
2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．
典型例题十一
例11 已知，求证：
．
分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．
证明：欲证，
只须证
．
即要证
，
即要证
．
即要证
，
即要证
．
即要证
，即
．
即要证
（*）
∵
，∴（*）显然成立，
故
说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式．
典型例题十二
例12 如果，，
，求证：
．
分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由
，易得
，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．
证明：∵
．
∴．
说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式
而得到的．左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用．
如果原题限定，，
，则不等式可作如下变形：
进一步可得到：
．
显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．
典型例题十三
例13 已知
，
，
，求证：在
三数中，不可能都大于
．
分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．
证明：假设三数都大于，
即
，
，
．
又∵
，
，
，
∴
，
，
．
∴
①
又∵
，
，
．
以上三式相加，即得：
②
显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．
说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．
典型例题十四
例14 已知
、
、
都是正数，求证：
．
分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证
，即只需证
．把
变为
，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程．
证法一：要证
，
只需证
，
即，移项，得．
由、、为正数，得
．
∴原不等式成立．
证法二：∵、、为正数，
．
即，故．
，
．
说明：题中给出的
，
，
，
，只因为、、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．
原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当
时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明．
典型例题十五
例15 已知
，
，且
．求证：
．
分析：记
，欲证
，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件
，
可换元，围绕公式
来进行．
证明：令
，
，且
，
则
∵，∴
，即成立．
说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若
，可设
；(2)若
，可设
，
，
；(3)若
，可设
，
，且
．
典型例题十六
例16 已知是不等于1的正数，是正整数，求证
．
分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．
证明：∵是不等于1的正数，
∴
，
∴
． ①
又
． ②
将式①，②两边分别相乘得
，
∴
．
说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为
，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．
典型例题十七
例17 已知，，，，且
，求证
．
分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．
证明：要证，
只需证
，
只需证
．
∵，，，
∴
，
，
，
∴
，
∴
成立．
∴．
说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．
典型例题十八
例18 求证
．
分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从
下手考查即可．
证明：∵
，
∴
．
说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．
典型例题十九
例19 在
中，角
、
、
的对边分别为，，，若
，求证
．
分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．
证明：∵
，∴
．
由余弦定理得
∴
，
∴
=
说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式
．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．