典型例题一
例1
椭圆的一个顶点为
，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，
，
，
椭圆的标准方程为：
；
（2）当为短轴端点时，
，
，
椭圆的标准方程为：
；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：
∴
，
∴
．
说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
，求
，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含
的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在
轴上的椭圆与直线
交于
、
两点，
为
中点，
的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为
，
由
，得
，
∴
，
，
，∴
，
∴
为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆
上不同三点
，
，
与焦点
的距离成等差数列．
（1）求证
；
（2）若线段
的垂直平分线与轴的交点为
，求直线
的斜率
．
证明：（1）由椭圆方程知
，
，
．
由圆锥曲线的统一定义知：
，
∴ 
．
同理 
．
∵ 
，且
，
∴ 
，
即 ．
（2）因为线段的中点为
，所以它的垂直平分线方程为
．
又∵点在轴上，设其坐标为
，代入上式，得
又∵点，
都在椭圆上，
∴ 
∴ 
．
将此式代入①，并利用的结论得
∴ 
．
典型例题五
例5 已知椭圆
，
、
为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线
的距离
是
与
的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在，设
，由已知条件得
，
，∴
，
．
∵左准线的方程是
，
∴
．
又由焦半径公式知：
，
．
∵
，
∴
．
整理得
．
解之得
或
．
①
另一方面
．
②
则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．
说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设
存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆
，求过点
且被
平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．
解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为
．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得
．
∵是弦中点，∴
．故得
．
所以所求直线方程为
．
分析二：设弦两端坐标为
、
，列关于
、
、
、
的方程组，从而求斜率：
．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得
①－②得
．
⑤
将③、④代入⑤得
，即直线的斜率为
．
所求直线方程为．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点
；
（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
求出
，
，在得方程
后，不能依此写出另一方程
．
解：（1）设椭圆的标准方程为或
．
由已知
．
①
又过点，因此有
或
．
②
由①、②，得，或
，
．故所求的方程为
或
．
（2）设方程为．由已知，
，
，所以
．故所求方程为
．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．
典型例题八
例8 椭圆
的右焦点为
，过点
，点在椭圆上，当
为最小值时，求点的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率，把
转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求
均可用此法．
解：由已知：，
．所以，右准线
．
过作
，垂足为
，交椭圆于，故
．显然的最小值为
，即为所求点，因此
，且在椭圆上．故
．所以
．
说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即
是到右准线的距离的一半，即图中的
，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9 求椭圆
上的点到直线
的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为
设椭圆上的点的坐标为
，则点到直线的距离为
．
当
时，
．
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率
，已知点
到这个椭圆上的点的最远距离是
，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求
的最大值时，要注意讨论
的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中
待定．
由
可得
，即．
设椭圆上的点
到点的距离是，则
其中
．
如果
，则当
时，
（从而）有最大值．
由题设得
，由此得
，与矛盾．
因此必有
成立，于是当
时，（从而）有最大值．
由题设得
，可得，．
∴所求椭圆方程是．
由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点
，点
到点的距离是．
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是
，其中，待定，
，
为参数．
由
可得
，即．
设椭圆上的点到点的距离为，则
如果
，即，则当
时，（从而）有最大值．
由题设得，由此得，与矛盾，因此必有
成立．
于是当
时（从而）有最大值．
由题设知，∴，．
∴所求椭圆的参数方程是
．
由
，
，可得椭圆上的是，．
典型例题十一
例11 设，
，
，求
的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．设
，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由，得
可见它表示一个椭圆，其中心在
点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
设，则
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为
．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即
，此时
；当圆过（3，0）点时，半径最大，即
，∴
．
∴的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
例12 已知椭圆
，、是其长轴的两个端点．
（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦
，求证：不论、如何变化，
．
（2）如果椭圆上存在一个点，使
，求
的离心率的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从
和
的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：
，
，根据得到
，将
代入，消去，用、、表示
，以便利用列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设
，
，
．
于是
，
．
∵是
到
的角．
∴
∵
∴
故
∴．
（2）设
，则
，
．
由于对称性，不妨设
，于是是
到
的角．
∴
∵， ∴
整理得
∵
∴
∵
， ∴
∵
， ∴
，
∴
，
∴
或
（舍），∴
．
典型例题十三
例13 已知椭圆
的离心率，求的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在轴上时，
，
，得
．由，得
．
当椭圆的焦点在轴上时，
，
，得
．
由，得
，即
．
∴满足条件的或．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为
与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆
上一点到右焦点的距离为
，求到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由，得，
，．
由椭圆定义，
，得
．
由椭圆第二定义，
，
为到左准线的距离，
∴
，
即到左准线的距离为
．
解法二：∵
，
为到右准线的距离，
，
∴
．
又椭圆两准线的距离为
．
∴到左准线的距离为
．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
例15 设椭圆
(
为参数)上一点与轴正向所成角
，求点坐标．
分析：利用参数与
之间的关系求解．
解：设
，由与轴正向所成角为
，
∴
，即
．
而
，
，由此得到
，
，
∴点坐标为
．
典型例题十六
例16 设
是离心率为的椭圆 
上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为
和
，求证：
，
．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
解：点到椭圆的左准线
的距离，
，
由椭圆第二定义，
，
∴
，由椭圆第一定义，
．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆
内有一点
，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．
(1) 求
的最大值、最小值及对应的点坐标；
(2) 求
的最小值及对应的点的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，
，
，
，设是椭圆上任一点，由
，
，∴
，等号仅当
时成立，此时、、共线．
由
，∴
，等号仅当
时成立，此时、、共线．
建立、的直线方程
，解方程组
得两交点
、
．
综上所述，点与
重合时，取最小值
，点与
重合时，
取最大值
．
(2)如下图，设是椭圆上任一点，作
垂直椭圆右准线，为垂足，由
，，∴
．由椭圆第二定义知
，∴
，∴
，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为
．
∴到右准线距离为
．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标
．
说明：求
的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径
与点准距
互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆
的参数方程；
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) 
．
(2)设椭圆内接矩形面积为
，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设
为矩形在第一象限的顶点，
，
则
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且
．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证
的面积与椭圆短轴长有关．
分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
（），
（
）．
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即
，设，
，
，化简可得
．又
，两方程联立消去
得
，由
，可以确定离心率的取值范围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式
，
，在中运用余弦定理，求，再利用
，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合
求解．
解：(法1)设椭圆方程为（），，，，
，
则，．
在中，由余弦定理得
，
解得
．
(1)∵
，
∴
，即
．
∴
．
故椭圆离心率的取范围是
．
(2)将代入得
，即
．
∴
．
即的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设
，
，
，
，
则
．
(1)在中，由正弦定理得
．
∴
∵
，
∴
，
∴
．
当且仅当
时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是．
(2)在中，由余弦定理得：
∵，
∴
，即
．
∴
．
即的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现
的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使
(
为坐标原点)，求其离心率的取值范围．
分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是，
则椭圆上的点
，
，
∵，∴
，
即
，解得
或
，
∵
∴（舍去），
，又
∴
，
∴
，又
，∴
．
说明：若已知椭圆离心率范围
，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？