典型例题一
例1 求与双曲线
共渐近线且过
点的双曲线方程及离心率．
解法一：双曲线的渐近线方程为：
（1）设所求双曲线方程为
∵
，∴
①
∵在双曲线上
∴
②
由①－②，得方程组无解
（2）设双曲线方程为
∵，∴
③
∵在双曲线上，∴
④
由③④得
，
∴所求双曲线方程为：
且离心率
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
∵点在双曲线上，∴
∴所求双曲线方程为：
，即．
说明：（1）很显然，解法二优于解法一．
（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程．
一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程
求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数
．
（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．
典型例题二
例2 作方程
的图象．
分析：∵
∴方程图象应该是圆
及双曲线
在
轴上方的图象．
说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线
的方程是
，那么点
在曲线上的充要条件是
”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．
典型例题三
例3 求以曲线
和
的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．
解：∵
，∴
或
，∴渐近线方程为
当焦点在轴上时，由
且
，得
．
∴所求双曲线方程为
当焦点在
轴上时，由
，且，得
．
∴所求双曲线方程为
说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．
（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．
典型例题四
例4 已知双曲线的渐近线方程为
，两条准线间的距离为
，求双曲线标准方程．
分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为
（1）若
，则
，
∴准线方程为：
，∴
，∴
（2）若
，则
，
∴准线方程为：
，∴
，∴
∴所求双曲线方程为：
或
说明：
（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．
（2）通过待定系数法求出参数
．
典型例题五
例5 中心在原点，一个焦点为
的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为
，求双曲线标准方程．
解：设双曲线的标准方程为，则
，解得
∴
为所求双曲线的标准方程．
说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．
典型例题六
例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点
且离心率为
的双曲线标准方程．
解：设所求双曲线方程为：
，则
，
∴
，∴
，∴所求双曲线方程为
说明：
（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率
是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：
设等轴双曲线
，则
，∴
∴
，∴
反之，如果一个双曲线的离心率．
∴
，∴
，
，∴
，∴
，
∴双曲线是等轴双曲线
（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．
典型例题七
例7 已知点
，
，在双曲线
上求一点
，使
的值最小．
解：∵
，
，∴
，∴
设点到与焦点相应准线的距离为
则
∴
，∴
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，
使到定点
的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线
垂直于准线时，
解之得，点
．
说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
典型例题八
例8 已知：
是双曲线上一点．求：点
到双曲线两焦点
、
的距离．
分析：利用双曲线的第二定义．
解：如图，设点到相应焦点、的准线的距离为
、
．
当点在双曲线的右支上时，
，且有
∴
，
当点在双曲线的左支上时，
，且有
∴
，
说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：
在双曲线
的一支上有三个不同点
、
、
与焦点
的距离成等差数列，求
的值．
解：直接利用焦半径公式，得：
，
，
∴
，∴
，即
注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．
典型例题九
例9 如图所示，已知梯形
中，
，点
满足
，双曲线过、
、三点，且以、
为焦点，当
时，求双曲线离心率的取值范围．
分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过、、的坐标及双曲线的方程求解．
解法一：以直线
为轴，以的垂直平分线为轴，建立直角坐标系
，则
轴，因双曲线过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性可知、关于轴对称．
设
、
、
，其中
为双曲线的半焦距，
是梯形的高．
由，即
，得
，
设双曲线方程为
，则离心率为
．
由点、在双曲线上，将、的坐标和，代入双曲线方程得
由①得
，将③代入②式中，整理得：
∴
，又∵，∴
，∴
∴双曲线的离心率取值范围为
．
分析二：建立直线
方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．
解法二：前面部分同解法一．
可求得直线方程为
，将其代入双曲线方程
中，得
又∵
、
为上述二次方程的两根，∴
①
又∵在双曲线上，∴
②
∵
③
将②③代入①中，得：
∵，∴
以下同解法一
分析三：借助焦半径公式解题．
∵，∴
①
∴
，由焦半径公式，得：
②
将①代入②，得：
∵，∴
以下同解法一
说明：
（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：
、、、
）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．
（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．
典型例题十
例10 设双曲线
的半焦距为，直线
过
、
两点，且原点到直线的距离为
，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中
、
、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出
的值．
解：由过两点，，得的方程为
．
由点到的距离为，得
．
将
代入，平方后整理，得
．
令
，则
．解得
或
．
而，有
．故
或．
因
，故
，
所以应舍去．故所求离心率．
说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率
．而
，故应舍去．
典型例题十一
例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点
，离心率
．
(2)已知双曲线的右准线为
，右焦点为
，离心率．
(3)、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且
，
，又离心率为
．
分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下．
如双曲线的实轴在轴上，设为所求．
由，得
． ①
由点在双曲线上，得
． ②
又
，由①、②得
，
． ③
若双曲线的实轴在轴上，设为所求．
同理有，
，．
解之，得
（不合，舍去）．
∴双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线方程为
．
(2)设双曲线上任意一点
，因为双曲线右准线，右焦点，离心率，根据双曲线的第二定义，有
，化简，得
，
即
．
∴所求双曲线方程为．
(3)设双曲线方程为，因
，而
，由双曲线的定义，得
．
由余弦定理，得
，
∴
．
又
，
∴
．
∴
，
，得
，
．
∴所求双曲线的方程为
．
说明：
对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．
对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由
，
，得
，则
．故所求双曲线方程为
．
误解二：由焦点坐标，知
．又，得
．故
．∴所求双曲线方程为
．
误解三：由，
，得
，
，则
．故所求双曲线方程为
．
这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．
题(3)虽属待定系数法，但要用到公式
和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．
典型例题十二
例11 在双曲线
的一支上有三个点
、
、
与焦点
的距离成等差数列．
(1)求；
(2)求证线段的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．
分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)．
解：(1)依题意，得在双曲线上支上，
故、、三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为
．
、
、
成等差数列，根据双曲线的第二定义，得
，故．
(2)由点、在双曲线上，故
，
．
两式相减，得
．
∴
．
∴的垂直平分线的斜率为
．
又的中点坐标为
，故的垂直平分线方程为
当
时，
，故的垂直平分线过定点
．
说明：
1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．
2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．
典型例题十三
例13 已知双曲线的离心率
，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使得
是到的距离与
的等比中项？
分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．
解：设在左半支上存在点，使
，由双曲线的第二定义，知
，即
． ①
再由双曲线的第一定义，得
． ②
由①、②，解得
，
．
在
中，有
，
∴
． ③
利用，从③式得
．
解得
．
由
，得
，与已知矛盾．
∴符合条件的点不存在．
说明：
(1)解答探索性命题，一般可先设点存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明点不存在；否则，便得到点的位置．
(2) 是双曲线左支上存在点，使成立的充要条件．
典型例题十四
例14 直线
与双曲线的左支相交于，两点，设过点
和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．
分析：首先应写出直线的方程，因此需求出的中点坐标，将直线与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得到中点的坐标表达式．
解：由方程组
消去得
． ①
设、
，中点的坐标为
．
∵直线与双曲线的左支相交于，两点，
∴方程①有两个不大于-1的不等实根．
令
，则
解得
，
，
．
∴直线的方程是
令，得
．
∵，
∴
或
．
说明：
(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，
是必不可少的条件．
(2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线
为例作简单说明．
关于的一元二次方程
．
①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是
②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是
③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是
典型例题十五
例15 已知
，
是过点
的两条互相垂直的直线，且，与双曲线
各有
，
和
，
两个交点．
(1)求的斜率
的取值范围；
(2)若
，求，的方程；
(3)若
恰是双曲线的一个顶点，求
的值．
分析：第(1)小题利用直线，与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到满足的不等式组；
第(2)小题利用弦长公式求，再由点斜式方程求出直线方程；
第(3)小题利用直线过点求，再由弦长公式求．
解：(1)依题意，直线，的斜率都存在，设的方程为
直线的方程为
，且
．
由方程组
消去，整理得
①
若
，则方程①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．
故
，即
．
∵直线与双曲线有两个不同交点，
∴
．
由方程组
消去，整理得
②
同理
，
．
所以，与双曲线各有两个交点，等价于
解得
∴
．
(2)设
，
；由方程①可得
，
．
∴
③
同理，由方程②可得
． ④
∵
，代入④得
． ⑤
由
，得
．
将式③和式⑤代入得
．
解得
．
当
时，
，
；
当
时，
，
．
(3)双曲线的顶点为
，
．
取
时，有
，解得
，于是
．
将
代入方程②得
．
设与双曲线的两个交点
，
，则
，
．
则
．
∴
．
当取
时，由双曲线关于轴对称，知．
说明：
(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量(或)得到关于变量(或)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式
，则有：
直线与双曲线相交于两个点；
直线与双曲线相交于一个点；
直线与双曲线无交点．
若得到关于(或)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
(2)直线被双曲线截得的弦长
或
，其中
是直线的斜率，
，
是直线与双曲线的两个交点，的坐标，且
，
，
可由韦达定理整体给出．
典型例题十六
例16 已知双曲线的渐近线方程是
，
，求双曲线的离心率．
分析：由渐近线的斜率与，
的关系得到，的关系，从而求出．
解：(1)设双曲线方程为
．
∵渐近线方程为，，
∴．
又∵
，
∴
．∴
．
(2)设双曲线方程为
．
∵渐近线方程为，，
∴
．
∵
，∴
，．
∴离心率或．
说明：
(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：
的形式，它们的渐近线为
．
(2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：
若知双曲线方程为或，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；
若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即
的形式，再设出双曲线方程；
；
若焦点在轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．
典型例题十七
例17 已知双曲线
的两条渐近线过坐标原点，且与以
为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点
和关于直线
对称，设直线过点，斜率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)当
时，在双曲线的上支求点，使其与直线的距离为；
(3)当
时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值及相应的点的坐标．
分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．
解：(1)由已知得双曲线的渐近线为
，
因而为等轴双曲线，其中一个顶点为
，
所以双曲线的方程为
．
(2)若
是双曲线的上支上到直线
的距离为的点，
则
，解得
，
．故点坐标为
．
(3)因为当时，双曲线的上支在直线的上方，所以点在直线的上方．
设直线
与直线
平行，两线间的距离为，
直线在直线的上方，双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，
等价于直线与双曲线的上支有且只有一个公共点．
设的方程是
，由上的点到的距离为，可知
，
解得
，其中
舍去．
由方程
及，消去得，
．
∵
，∴
．
令
．∵，解得
，
．
当时，
，解得，
，∴点的坐标为
．
当时，
，解得
，
，∴点的坐标为
．
说明：若已知双曲线渐近线方程为
，则共渐近线的双曲线方程为
，其中为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为
与双曲线上支有且只有一个公共点问题．
典型例题十八
例18 如下图，给出定点
和直线
，是直线上的动点，
的角平分线交于，求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系．
分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出点横坐标与纵坐标的关系．
解：依题意，记
，
，则直线
与
的方程分别为
和
，
设点坐标为
，则有
，
由
平分
，知点到、距离相等，根据点到直线的距离公式，
得：
①
依题设，点在直线上，故有
．
由
，得，
②
将②式代入①式，得
．
整理得：
，
若
，则
．
若，则
，
，点的坐标为
，满足上式．
综上，得点的轨迹方程为：
(1)当时，轨迹方程化为
③
此时，方程③表示抛物线弧段
(2)当
时，轨迹方程为
，其中
④
∴当
时，方程④表示椭圆弧段，当
时，方程④表示双曲线一支的弧段．
说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数的讨论是高考重点考查的内容．
典型例题十九
例19 已知双曲线的实轴在直线
上，由点
发出的三束光线射到轴上的点、
及坐标原点
被轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点、和双曲线的中心．若
，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为
，求双曲线的方程和入射光线
、
所在直线的方程．
分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点
与、的问题．
解：依题意，设双曲线中心为
，又点关于轴的对称点为
，所以直线
的方程为，与联立，得
．
设双曲线方程为
，焦点
，
，右准线
，从而
的方程为：
，
的方程为：
．
在上面两式中分别令，则点坐标为
，点坐标为
，再由，则
，∴点坐标为，点坐标为
．
在
中，令
，得
，在
中，由，得，
，所以，所求双曲线方程为
．直线的方程为
，直线的方程为
．
说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出轴上的点、的坐标，从而使问题迎刃而解．