高二数学上学期期末模拟试卷
命题人：李正洋 审核人：张达连
时间：120分钟 分值：160分 使用时间：2008.01
一、填空题
1、样本a1, a2, a3, …, a10的平均数为
，样本b1, b2, b3, …, b20的平均数为
,则样本a1，a2，a3，…，a10, b1，b2，b3，…，b20的平均数为(用,表示)
________.
2、抛物线
的焦点坐标是
_____.
3、已知条件
，条件
，则
是
的
_______条件.
4、为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本考虑采取系统抽样，则分段的间隔(抽样距)k为 _____.
5、以下给出的是计算
的值的一个流程
图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是_______.
6、写出命题：“至少有一个实数
, 使
=
定 .
7、经过点
且与双曲线
有共同渐
近线的双曲线方程为 ________.
8、口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其
中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为
0.23，则摸出黑球的概率为 ．
9、（文科班）已知函数
，若
是
的一个极值点，则
．
（理科班）已知向量
若
则实数
______，
_______.
10、已知椭圆
的离心率
，则k的值等于________________.
11、记定点
与抛物线
上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线L的距
离为d2，则当d1+d2取最小值时，P点坐标为________________.
12、若双曲线
上一点P到右焦点的距离为8，则P到左准线的距离为________.
13、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则
的概率为
.
14、（文科班）已知函数
的图象在点
处的切线与直线
平行，则
.
（理科班）若
，
，
是平面
内的三点，设平面的法向
量
，则
________________.
二、解答题
15、已知条件
：
，
.若是
的充分而不必要条件，求正实数
的取值范围.
16、已知双曲线过点P
，它的渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且PF1·PF2=32，求
∠F1PF2的大小.
17、（文科班）同时掷3个骰子。求：（1）三个骰子的点数都是4的概率； （2）三个骰子的点数和小于5的概率。（3）三个骰子的点数至少有两个相同的概率；
（理科班）已知正方形
，边长为2，正方形内任意一点的选取都是等可能的，任选一点
，作
于
，
于
，矩形
的面积为
。
（1）请建立适当的坐标系，设
，作出满足
的点的区域，并写出
满足的条件；
（2）的概率大于0.5吗？试通过计算说明。
18、（文科班）已知曲线
过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线
垂直. 求(Ⅰ) 常数
的值； (Ⅱ)
的单调区间.
（理科班）如图，在四棱锥
中，底面为矩形，侧棱
底面，
，
，
，
为
的中点.
（Ⅰ）求直线
与
所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面
内找一点，使
面
，并求出点到
和
的距离.
19、（文科班）设曲线
上的点
，过作曲线
的切线。
(1) 若
，求过点的切线方程；
（2）设曲线焦点为
，切线与
轴交于A，求证:
是等腰三角形。
（理科班）在棱长为4的正方体
中，
正方形
的中心，点在棱
上，且
.
（1）求直线与平面
所成角的余弦值；
（2）设点在平面
上的射影为
，求证：
；
（3）求点到平面
的距离.
20、如图，A为椭圆
上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求
的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否
为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
东沟中学高二数学期末模拟试卷参考答案
一、填空题(14*5=70分)
1、
2、
3、充分不必要
4、40
5、
6、
7、
8、0.32 9、（文）2；（理）
10、
11、
12、
13、
14、（文）
；（理）
二、解答题
15、
16、解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为
的点
的纵坐
标绝对值为
，
∴双曲线的焦点在
轴上，设方程
∵双曲线过点
① 又
②
由①②得
，∴所求的双曲线方程为
…………6分
（2）证PF1=d1，PF2=d2，则d1·d2=32
又由双曲线的几何性质知d1－d2=
即有
………………10分
又F
△PF
………………………………12分
17、解：（文）（1）
；（2）
；（3）
（理）（1）以为轴，
为轴，
为坐标原点建立直角坐标系。
满足：
所围成的区域。
（2）阴影部分面积
使得的概率
18、解（文）(Ⅰ)据题意
，所以
（1）
，
又曲线在点P处的切线的斜率为
，
∴
，即
（2）由（1）（2）解得
.
（Ⅱ）
. ∴当
时，
；当
时，
.∴的单调区间为
，在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.
（理）（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
|
的坐标为
、
、
、
、
、
，
从而
设
的夹角为
，则
∴与所成角的余弦值为
.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为
，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为
，从而点到和的距离分别为
.
19、解：（文）（1）
，切线方程为
，即
（2）
处切线方程：
，将
代入，
得
，焦点坐标
，
，又
，
，即
是等腰三角形。
（理）
复习题第13题
20、解（Ⅰ）设
，则
.由题设及椭圆定义得
，
消去
得
，所以离心率
.
(Ⅱ) 由(1)知，
，所以椭圆方程可化为 
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，
，直线
的方程为
.
由
得 
，解得
，
∴ 点
的坐标为
.
又
，所以
，
，所以
，
.
②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
证明 设
，
，则
.
若
为椭圆的长轴端点，则
或
，
所以
.
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由
得，
，所以
.
又直线的方程为
，所以由
得
.
，
∴
.
由韦达定理得 
，所以
. 同理 
.
∴
.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.