高二年级数学上学期期末考试试卷(理科)
命题人，校对人：鞍山一中 张继红
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1． 向量
,则
与
( )
A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对
2． 在
中, 
则AC边长为
( )
A.
B. 
C. 
D. 
3. 过抛物线y=x2上的点M（
, 
）的切线的倾斜角是
（ ）
A 
B 
C 
D 
4.设
在
上的图象是一条连续不间断的曲线，且在
内可导，则下列结论中正确的是
（ ）
A. 在上的极值点一定是最值点 B. 在上的最值点一定是极值点
C. 在上可能没有极值点
D. 在上可能没有最值点
5.集合
,
,若
则实数P的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6.已知数列
,如果
(
)是首项为1公比为
的等比数列，那么
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7.已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 如图所示长方体ABCD—
中，
，AD=1，
点E、F、G分别是
的中点，
则异面直线
和GF所成的角为
（ ）
A. 
B.
C.
D.
9.已知函数
的图象如图所示
（
为两个极值点），且
则有
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10．已知直线y=kx-k及抛物线
，则
（ ）
A.直线与抛物线有且只有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
11已知梯形的两底的长度分别为
。将梯形的两腰各分为n等份，连结两腰对应的分点，得到n-1条线段的长度之和为
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
12．已知椭圆
，过动点P的直线PA,PB分别与椭圆有且只有一个交点，交点为A、B，且
，则动点P的轨迹是
（ ）
A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．由曲线
与
所围成的图形的面积是 .
14．已知x,y满足条件
则z=2x+5y的最大值为
15．函数
的最小值是
.
16． 给出下列三个命题
(1)设是定义在R上的可导函数，
为函数的导函数。
是
为极值点的必要不充分条件。
(2)双曲线
的焦距与m有关
（3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。
（4）命题“
”
其中正确结论的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,
，求b，c及
18．（本小题满分12分）
数列｛｝的前n项和记为
， 
1＝1，
.
（1） 求｛｝的通项公式；
（2） 等差数列｛
｝的各项为正数，其前n项和为
，且T3＝15，又1+
1，2+2，3+3成等比数列，求
19．（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2，PB＝PE＝
，BC＝DE＝，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90O.
（1） 求证：PA⊥平面ABCDE；
（2） 求二面角A-PD-E的大小.
20．（本小题满分12分）
定义在R上的函数ƒ(
)=3+2+ (,为常数)，在=－1处取得极值，ƒ()的图象在P（1，
ƒ(1)）处的切线平行直线
＝8，
（1） 求函数ƒ()解析式及极值；
（2） 求不等式ƒ()≥
的解集；
21．（本小题满分12分）
已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线
＝
的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设
.
（i）当λ＝1时，求直线m的方程；
（ii）当△AOB的面积为
时（O为坐标原点），求λ的值.
22．（本小题满分14分）
已知ƒ()＝
.
（1） 函数ƒ()在区间（0，+
）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2） 当＞0时，证明：ƒ()＞
；
（3） 求证：（1+1·2）（1+2·3）…[1+n(n+1)]＞
.
2007—2008学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷
理科答案
13、
14、19 15、5 16、（1）（3）
17、解：
............3分
............6分
b＝
当b＝3 c＝5时 
............10分
当b＝5 c＝3时 
............12分
18、解：（1）由（n≥1）可得
（n≥2）,两式相减得n+1－n=2
n，
.
又2＝2S1+1=3,
，故｛n｝是首项为1，公比为3的等比数列，
.
............6分
（2）设｛n｝的公差为
，由T3＝15可得1+2+3＝15，可得2＝5，故可设1＝5－，3＝5+.
又1＝1，2＝3，3＝9，由题意可得（5－+1）（5++9）＝（5+3）2，解得1＝2，2＝－10.
等差数列｛n｝的各项为正，＝2，
.
............12分
19、解：（1）PA＝AB＝2，PB＝，PA2+AB2＝PB2，∠PAB＝90O，即PA⊥AB.同理PA⊥AE.又AB∩AE＝A，PA⊥平面ABCDE. ............4分
|
∠DEA＝90O，
AE⊥ED. PA⊥平面ABCDE，PA⊥ED.
又PA∩AE＝A，ED⊥平面PAE.过A作
AG⊥PE于G，DE⊥AG，AG⊥平面PDE.
过G作GH⊥PD于H，连结AH，由三垂线定理
得AH⊥PD. ∠AHG为二面角A-PD-E的平面
角.在直角△PAE中，AG＝
.在直角△PAD中，
，在直角△AHG中，sin∠AHG＝
.
∠AHG＝arcsin
，二面角A-PD-E的大小为arcsin. ............12分
|
，0，0），E（0，2，0），P（0，0，2），D（，2，0），
C（2，，0），过A作AN⊥PD于N.
（，2，－2），
设
，
＝（
，2，2－2）. AN⊥PD, 
.·+2·2－2（2－2）＝0.解得
. 
，即
，同理，过E作EM⊥PD于M，则
.二面角A－PD－E的大小为
，
所成的角＜
＞. cos＜＞＝
.＜＞＝arccos 
.二面角A－PD－E的大小为arccos. ............12分
20、解: （1）由题设知
ƒ()＝3+22+，
则
，
令
，
当变化时，ƒ()
的变化情况如下表：
|
| （－ | －1 | （－1， |
| （ |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
| ƒ( | ↑ | 0 | ↓ |
| ↑ |
ƒ()的极大值为ƒ（-1）＝0，极小值为ƒ（
）＝
.............6分
（2）3+22+≥
.
考虑方程
根的情况，
若＞0，则方程的根为
，
①当＞1时，
，
；
②＝1时，不等式的解集为
；
③0＜＜1时，
；
若＝0时，不等式的解集为
；
若＜0时，不等式的解集为
.............12分
21、解: （1）解法一
设
当≥-2时；
；
当＜-2时，
两边平方得
，因＜-2，不合题意，舍去.
故点M的轨迹C的方程是：
.
............4分
解法二 ∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线＝-2的距离小1.
∴点M在直线
的上方. ∴点M到F（0，1）的距离与它到直线
＝-1的距离相等.
∴点M的轨迹C是以F为焦点
为准线的抛物线，所以曲线C的方程为.
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
当直线m与轴不垂直时，设直线m的方程为
.
代入得，
①
＞0对k∈R恒成立.
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点。
设交点A，B的坐标分别为A（
）B（
），则
. 
.
（i）由，且λ＝1得，P为AB的中点，
∴
.把②代入得，
.∴直线m的方程是
.
............6分
（ii）
＝
.
点O到直线m的距离
.
=
·
=
∵=
∴
.
（
（无实根）
由
1°当k＝0时，方程①的解为
.
当
＝
；
当
. ...........10分
2°当k＝2时，方程①的解为
，
同理可得，
.
............12分
22、解：（1）
因此函数ƒ()在区间（0，+）上是减函数. ............3分
（2）证明：当＞0时，ƒ()＞成立，即证当＞0时，（+1）ln（+1）+1-2＞0成立.
令g（）＝（+1）ln（
+1）+1-2，则
，
.
.
............8分
（3）由（2）知：
，
，
令
.
ln（1+1·2）+ln（1+2·3）+…+ln[1+n（n+1）]
＞
＝
＝
，
.
............14分