安陆一中高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（四）
一．选择题
1已知椭圆
的离心率
,则实数
的值为（ ）
A,3
B,3或
C,
D,
或
2一动圆与两圆
和
都外切,则动圆圆心的轨迹为（ ）
A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
3已知双曲线的顶点为
与(2,5),它的一条渐近线与直线
平行,则双曲
线的准线方程是（ ）
A,
B,
C,
D,
4抛物线
上的点P到直线
有最短的距离,则P的坐标是（ ）
A,(0,0)
B,
C,
D,
5已知点F
,直线
:
,点B是上的动点.若过B垂直于
轴的直线与线段
BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是（ ）
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线
二．填空题
6椭圆
上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离
为
,则此椭圆的方程为
.
7与方程
的图形关于
对称的图形的方程是
.
8设P是抛物线
上的动点,点A的坐标为
,点M在直线PA上,
且分
所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是
.
9设椭圆与双曲线有共同的焦点
,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,
则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .
三．解答题
10已知点H
,点P在轴上,点Q在
轴的正半轴上,点M在直线PQ上,
且满足
,
.
(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;
(II)过点T
作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E
,
使得
是等边三角形,求
的值.
11已知双曲线C:
,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,
O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足
成等比数列,过点F作双曲
线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.
(I)求证:
;
(II)设
,直线与双曲线C的左,右两分
支分别相交于点D,E,求
的值.
12已知双曲线的两个焦点分别为
,
,其中又是抛物线
的焦点,点A
,
B
在双曲线上.
(I)求点的轨迹方程;
(II)是否存在直线
与点的轨迹有且只
有两个公共点?若存在,求实数
的值,若不存在,请说明理由.
直线与圆锥曲线（四）参考答案
一．选择题
1 B.
二．填空题
6可得
,消去
,整理得
,有
或
(舍去),得
,
,所以所求的椭圆方程为
.
7设点P
是所求曲线上任一点,它关于对称的点
在上,
有
,即
.
8设点P
,M,有
,
,得
,
而
,于是得点M的轨迹方程是
.
9由条件可得
或
,设P代入可知交点的轨迹是两个圆.
三．解答题
10解:(I) 设点M,由,得P
由,得
所以.又点Q在轴的正半轴上,得
.
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(II)设直线:
,其中
,代入,整理得
①
设A
,B
,
,
=
,有AB的中点为
,
AB的垂直平分线方程为
,令
,
,有E
由为正三角形,E到直线AB的距离为
,知
.
由
,解得
,所以
.
11(I)证明:直线的方程为:
由
,得P
,又成等差数列,
得A(
,0),有
,
于是
,
,因此.
(II)由,得
,:
由
,消去,整理得
①
设D,E,由已知有
,且
,
是方程①的两个根.
,
,
,解得
或
.
又,得
=,因此
.
12解:(I)
,
,设
则
,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹
方程为
和
(
)
(II)直线
:,
:,D(1,4),椭圆Q:
①若过点或D,由,D两点既在直线上,又在椭圆Q上,但不在的轨迹上,
知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若不过,D两点(
).则与必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,
所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与Q有且只有一个公共点,
把代入椭圆的方程并整理得
由
,得
.