高二数学第二学期月考试题 2008.5
一、填空题（每小题5分）
1．在
中,
,则
的值为 
2．设
是公差为正数的等差数列，若
，
，则
105
3．在
ABC中，已知
，b＝4，A＝30°，则sinB＝
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=
,a=
,b=1，则c= 2
6．为等差数列
的前
项和，若
,则公差为 -1 （用数字作答）
7．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝
8．若互不相等的实数
成等差数列，
成等比数列，且
，则
-4
9．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为
10．在数列｛an｝中，若a1=1,an=2an-1+3 (n≥2),则该数列的通项an=
11．△ABC中，
则△ABC的周长的最大值是 9
12．在
和
之间插入n个正数，使这
个数依次成等比数列，则插入的n个数之积为
（用含正整数的式子表示）
13．求和
= 
14．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；从第2堆开始，从上至下第一层总是一个球，第
层分别按如图所示方式固定摆放，第
堆共有层乒乓球。以
表示第堆的乒乓球总数，则
10 ；
（答案用表示）
二、解答题（15—18每小题15分，19题14分，20题16分）
15．若
是公差不为 0的等差数列的前项和，且
成等比数列
（Ⅰ）求数列的公比； （7分）
（Ⅱ）
=4，求的通项公式。 （8分）
解：（Ⅰ）设数列的公差为
,由题意，得 
所以
，因为
，所以 
，故公比
（Ⅱ）因为
所以
，因此
16．已知锐角△ABC中，sin（A+B）=
，sin（A－B）=
.
（1）求证：tanA=2tanB；（5分）
（2）设AB=3，求AB边上的高（10分）
解析：（1）证明：∵sin（A+B）=
，sin（A－B）=
，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：
＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－
，
即
=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=
（负值舍去）.得tanB=
，∴tanA=2tanB=2+
.
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=
+
=
.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.
17．数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；（7分）
（Ⅱ）等差数列
的各项为正，其前项和为
，且
，又
成等比数列，求（8分）
解：（Ⅰ）由
可得
，两式相减得
又
∴
故是首项为
，公比为
得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为
由得，可得
，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
18．已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前n项和为，点
均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；（8分）
（Ⅱ）、设
，是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m；（7分）
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－
＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
＝
＝
，
故Tn＝
＝
＝（1－
）.
因此，要使（1－）<
（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
19．如图所示，已知半圆的直径为2，点C为直径AB延长线上一点，满足BC=1，P为半圆上一个动点，以PC为邻边作正三角形PCD，圆心O与D分别在PC的两侧，（1）若
试将四边形OPDC的面积
表示为
的函数；（6分）
（2）求四边形OPDC的面积最大值（8分）
解：（1）在
中，由余弦定理得
（2）当
，即
时
答：求四边形OPDC的面积最大值为
。
20．已知数列满足
（I）证明：数列
是等比数列；（5分）
（II）求数列的通项公式；（5分）
（II）若数列满足
证明是等差数列（6分）
解：（I）证明：
是以
为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得
（III）证明：
①
②
②－①，得
即
③
④
④－③，得
即
是等差数列。