高二数学第二学期期中考试试题
高二数 学(理科)
命题人：郭朝宏 审题人：彭成江
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
注意：
1.选择题答案要用铅笔在答题卡指定位置上填涂;
2.填空及解答题用黑色钢笔或签字笔在答题卷上指定位置作答.
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.一个物体的运动方程为
其中
的单位是米，
的单位是秒，那么物体在
秒末的瞬时速度是（ ）
（A）
米/秒 （B）
米/秒 （C）
米/秒 (D)
米/秒
2.若复数
是纯虚数（
是虚数单位，
是实数），则
（ ）
(A)2 (B)
(C)
(D)
3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面
，直线
平面，直线∥平面，则直线∥直线
”的结论显然是错误的，这是因为
(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误
4.若
则
=（ ）
(A)6 (B) 4 (C) 3 (D).2
5.
( )
(A)第一象限 (B) 第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
6.曲线
上的点到直线
的最短距离是（
）
（A）
(B)
(C) 
(D) 
|
7.利用数学归纳法证明“（n+1）(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…(2n-1)(n∈N*)”时，从n=k变到“n=k+
(A)2k+1 (B)
(C)
(D)
8.已知二次函数
，对于任意实数x，有
的最小值为(
)
(A) 
(B)
(C)
3 (D)
2
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题: 本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中相应横线上.
9. 曲线
在点P（－１，３）处的切线方程为
.
10. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
个图形包含
个“福娃迎迎”，则
；
= 。（答案用数字或的解析式表示）
|
11.设数函
。若
是奇函数，则
_________。
12.已知定义在区间
上的函数
的图像如图所示，对于满足
的任意
、
，给出下列结论：
；
；
．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
13.已知
，则
的最大值是
.
14.在
中，两直角边分别为
、
，设
为斜边上的高，则
，由此类比：三棱锥
中的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度分别为、、
，设棱锥底面
上的高为，则 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 , 把答案写在答题卷上指定位置处 .
15.已知
，其中
是
的共轭复数，求复数.
16.求由
与直线
所围成图形的面积.
17.函数
对任意实数
都有
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值，猜想
的表达式并用数学归纳法证明你的结论；
|
18.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：
.(提示:可考虑用分析法找思路)
19.一物体按规律
作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
20.已知函数
为实常数．
（1）、a在什么范围内时，
只有一个公共点？
（2）、若
上有最小值2，求a的值．
|
|
南雄中学2007-2008学年第二学期期中考试答题卷
高二数 学(理科)
注意事项：
1.用黑色钢笔或黑色签字笔答在指定位置处.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：（30分）
9.______________. 10.____________.
11._______________. 12.__________________.
13、 ； 14、 。
三、解答题：（共6小题，80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（12分）
_16. 16。（12分）
.
|
|
18. （14分）
|
19（14分）
|
20. （14分）
|
高二数 学(理科)答案及评分标准
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | C | C | A | D | B | A | C | D |
二、填空题
9．
；10．41;
；11．
12．2,3；13．
，；14．
三、解答题
15解：由已知得 
设
，代入上式得
，解得
故复数为
分
16、解：由
得交点坐标为
，如图
（或答横坐标）
方法一：阴影部分的面积
方法二：阴影部分的面积 
= 9
方法三：直线与
轴交点为（2，0）所以阴影部分的面积
= 9
17. 解：（Ⅰ）
令
，得
……
证明：（Ⅱ），
猜想
，下用数学归纳法证明之.
（1）当n=1时,f(1)=1,猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即 
，
则当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k2+2k+1=(k+1)2
即当n=k+1时猜想成立。
由（1）、（2）可知，对于一切n∈N*猜想均成立。
18．证法一：∵b＞a＞e,∴要证,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则
f′(b)=lna－
.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴.
证法二：要证,只要证blna＞alnb(e＜a＜b
,即证
,设f(x)=
(x＞e)，则f′(x)=
＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即
,∴.
19解：物体的速度
．媒质阻力
，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，
，又ds=vdt，故阻力所作的功为
20．解：已知函数为实常数．
（1）a在什么范围内时，只有一个公共点？
（2）若
上有最小值2，求a的值．
【解析】（1）
．
①当
时，
，所以
在R上单调增，此时只有一个公共点；
②当
时，
．由
，得
．
在
上列表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| ＋ | 0 | ─ | 0 | ＋ |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
因为只有一个公共点，所以
或
．
所以
，得
．
综上，
，只有一个公共点．
（2）
．
由
，可知
为偶函数，则原题即为在
上有最小值2．
设
（
），则
．
①
时，
，所以
在上单调增，所以
．
因为在上有最小值2，所以
，所以
．
②
时，
，无最小值，不合题意．
③
时，
，
．
（I）
，即
时，
，所以在上单调减，所以
，此时在上的最小值为
，不合题．
（II）
，即
时，由
，得
．
在
上列表：
|
|
|
|
| 2 |
|
| ─ | 0 | ＋ | |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
|
∴
，即
．综上，的值为
．