高二数学下第二次月考试卷

高二数学下第二次月考试卷

（理科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。

4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

A．必做题部分

参考公式：

参考数据

P（2≥x0)	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．

1．若 , ，且为纯虚数，则实数的值为　 ▲　 ．

2．展开式中的系数为　 ▲　 ．（用数字作答）

3．在用反证法证明“圆内不是直径的两弦，不能互相平分”，假设　 ▲　　　 ．

4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有　 ▲　 ．

5．设A ，X， B，满足AX=B，则=　 ▲　 ．

6．如果～，则当取得最大值时的值为　 ▲　 ．

7．=　 ▲　 ．

8．已知抛物线的极坐标方程是，则此抛物线的准线的极坐标方程是

　 ▲　 ．

9．一个均匀的小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以1，一个面上标以2，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是 　 ▲　 ．

10．设，则　 ▲　　　　  ．

11．给出下列命题：①若，则是纯虚数；②复数的几何意义是将向量绕原点O逆时针旋转90°；③若是纯虚数，则实数=±1；④若=1，则复数z 一定等于1.其中，正确命题的序号是 　 ▲　 ．

12．已知函数满足：，，则有：

　 ▲　 ．

13．若中两直角边为，斜边上的高为，则；如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，，那么的大小关系是　 ▲　 ．

14．已知,把数列的各项排成右图所示的三角形的形状,记表示第行,第列的项, 则　 ▲　 ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　(第13题)　　　　　　　　　　　　  (第14题)　　　

二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设m，n∈N，m、n≥1，f（x）=(1+x)^m+(1+x)ⁿ的展开式中，x的系数为19．

（1）求f（x）展开式中x²的系数的最大、小值；

（2）对于使f（x）中x²的系数取最小值时的m、n的值，求x⁷的系数。

16．（本小题满分14分）

某高校调查询问了56名男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据。从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系。

	参加运动	不参加运动	合计
男大学生	20	8	28
女大学生	12	16	28
合计	32	24	56

17．（本小题满分14分）

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．

（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

18．（本小题满分16分）

是否存在实数a、b使等式对任意的正整数n都成立，若不存在，说明理由；若存在，试确定a、b的值，并用数学归纳法证明之。

19．（本小题满分16分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

20．（本小题满分16分）

已知关于方程有实根，

（1）求实数的值；

（2）若复数满足求为何值时，有最小值并求出最小值。

B．附加题部分

　　　　　　　　　　　　 (满分40分，考试时间30分钟)

本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．

（Ⅰ）求的分布列；　　　　　 （Ⅱ）求的数学期望；

（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率．

2．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.　（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦的长度.

3．（1）请说明下列矩阵A、B表示的几何意义，并求出矩阵AB的逆矩阵；

　　　

（2）设，若矩阵把直线l：x+y-1=0变为直线m：x-y-2=0，求

4．给定矩阵A=，B=．　　  （1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应特征向量α₁，α₂；　　　 （2）求A⁴B．

答案纸 (必做题部分)

高二数学（理科）

一．填空题：(本大题共14小题，每小题分，共70分．请把结果直接填在题中横线上)

1. __________________　2. ___________________________

3. __________________　4. ___________________________

5. __________________　6. ___________________________

7. __________________　8. ___________________________

9. __________________　10. __________________________

11. _________________　12. __________________________

13. _________________　14. __________________________

二．解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.

16.

17.

18.

19．

20.

答案纸 (附加题部分)

本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1.

2.

3.

4.

高二数学

参考答案及评分标准

A．必做题部分

参考公式：

参考数据

P（2≥x0)	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．

1．若 , ，且为纯虚数，则实数的值为　 　．

2． 展开式中的系数为　　－960 　．（用数字作答）

3． ．在用反证法证明“圆内不是直径的两弦，不能互相平分”，假设　圆内不是直径的两弦，能互相平分．

4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有60　．

5．设A ，X， B，满足AX=B，则=　　 　.

6．如果～，则当取得最大值时的值为　 　 ．

7．=　 　 ．

8．已知抛物线的极坐标方程是，则此抛物线的准线的极坐标方程是

　　cosθ=－　 ．

9．一个均匀的小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以1，一个面上标以2，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是　　　 .

10．设，

则　 　 ．

11．给出下列命题：①若，则是纯虚数；②复数的几何意义是将向量绕原点O逆时针旋转90°；③若是纯虚数，则实数=±1；④若=1，则复数z 一定等于1.其中，正确命题的序号是 　②　 ．

12．已知函数满足：，，则有：

　　　 24　　 ．

13．若中两直角边为，斜边上的高为，则；如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记， ，，那么的大小关系是 　　

14． 已知,把数列的各项排成右图所示的三角形的形状,记表示第行,第列的项, 则　　　.

　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　(第13题)　　　　　　　　　　　　  (第14题)　　　

二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设m，n∈N，m、n≥1，f（x）=(1+x)^m+(1+x)ⁿ的展开式中，x的系数为19．

（1）求f（x）展开式中x²的系数的最大、小值；

（2）对于使f（x）中x²的系数取最小值时的m、n的值，求x⁷的系数。

解：。

（1）设x²的系数为T=。

∵n∈Z⁺，n≥1，∴当当。

（2）对于使f（x）中x²的系数取最小值时的m、n的值，即

从而x⁷的系数为。

16．（本小题满分14分）

某高校调查询问了56名男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据。从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系。

	参加运动	不参加运动	合计
男大学生	20	8	28
女大学生	12	16	28
合计	32	24	56

解：设性别与参加体育运动无关

∵　 　　　　　 　　　

　　 　　　　　 

∴的观测值为　 －－－－8分

∵　　　　　　　　　　　　　　 ―――－－－－－－－10分

故有95%把握认为性别与参加运动有关。　　　－－－－－－－－－14分

17．（本小题满分14分）

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．

（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

　 （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

解：（1）C₅²A₅⁴=1200（种）　　　　　　　　 

（2）A₅⁵-1=119（种）　　　　　　　　　　 

（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种

第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种

第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种

第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C₅²=20种

∴ 满足条件的放法数为：　 1+10+20=31（种）　

18、（本小题满分16分）

是否存在实数a、b使等式对任意的正整数n都成立，若不存在，说明理由；若存在，试确定a、b的值，并用数学归纳法证明之。

解：存在

当n=1时2²=1×2×（a+b）　　　得a+b=2

当n=2时2²+4²=2×3（2a+b）　 得6a+3b=10

所以得…….5分

证明：（1）当n=1时，由以上知等式成立………………………………6分

（2）假设当n=k时等式成立，即

则……8分

所以当n=k+1时等式也成立……………………………………………………14分

由（1）（2）知对于任意正整数n等式

都成立……………………　16分

19．（本小题满分16分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，

　，， ，且当或时， 

因此，随机变量的最大值为． 有放回抽两张卡片的所有情况有种，

 ．答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．　

（Ⅱ）的所有取值为．

时，只有这一种情况，

 时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，．　　　　　 

则随机变量的分布列为：

因此，数学期望．

20．（本小题满分16分）

已知关于方程有实根，

（1）求实数的值；

（2）若复数满足求为何值时，有最小值并求出最小值。

．解：（1）∵ 关于方程有实根，

∴ ,即

∴ ，解得：

（2）设、,代入得：

　 ∴

化简，整理得：

∴ 复数z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆,

∴ ，由 解得：

∴ 当时，．

B．附加题部分

　　　　　　　　　　　　 (满分40分，考试时间30分钟)

本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求的数学期望；

（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率．

解：（Ⅰ）可能取的值为0，1，2．

由题意：，

　．　　

所以，的分布列为：

	0	1	2
P

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），的数学期望为．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ），“所选3人中女生人数”的概率为

．　　　　　　 

2．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.

（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦的长度.

解：（Ⅰ）曲线：（）表示直线．曲线：，，

所以，即．

（Ⅱ）圆心（3，0）到直线的距离 ，，所以弦长=．

3．（1）请说明下列矩阵A、B表示的几何意义，并求出矩阵AB的逆矩阵；

　　　

（2）设，若矩阵把直线l：x+y-1=0变为直线m：x-y-2=0，求

解：（1）A矩阵的几何意义：绕原点逆时针旋转60⁰；

　　　　B矩阵的几何意义：纵坐标不变，横坐标增加纵坐标的2倍的切变变换

 

（2）法1、在l上任取一点P（x，y）经矩阵变换后为点，

　　　　　 则

　　　　

　　　　 法2、在l上任取两点（1，0）与（0，1）

　　　　

4．给定矩阵A=，B=．

（1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应特征向量α₁，α₂；

（2）求A⁴B．

解：（1）设A的一个特征值为λ，由题知=0　

（λ－2）（λ－3）=0　　 λ₁=2，λ₂=3　

当λ₁=2时，由=2，得 A的属于特征值2的特征向量α₁=

当λ₁=3时，由=3，得 A的属于特征值3的特征向量α₂=

（2）由于B==2＋=2α₁＋α₂　　　　　　　　　　　　　　　　 

故A⁴B=A⁴（2α₁＋α₂）

=2（2⁴α₁）＋（3⁴α₂）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

=32α₁＋81α₂

=＋

=