高二数学教材中有关距离的问题练习

高二数学教材中有关距离的问题练习

题1（第111页练习第2题)如图，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线A A′的长d.

解：，

 

∵　，

 <>=π—θ（或θ），

∴

，

当E,F在公垂线同一侧时取负号

当d等于0是即为“余弦定理”

∴　.

变式1.已知:两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA₁的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A₁E＝m，AF＝n，求证:EF＝(92(26))
　 证明:设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA₁的平面为β，
α∩β＝c，则c∥a，因而b，c所成的角等于θ，且AA₁⊥c，
又∵AA₁⊥bÞAA₁⊥α，由两个平面垂直的性质定理有
EG⊥α.连结FG，则EG⊥FG，在Rt△EFG中，EF²＝EG²＋FG²
　　∵AG＝m，∴在△AFG中，FG²＝m²＋n²－2mncosθ
　　∵EG＝d，∴EF²＝d²＋m²＋n²－2mncosθ
　　如果点F(或E)在点A(或A₁)的另一侧，则
　　EF²＝d²＋m²＋n²＋2mncosθ
　　因此EF＝.

变式2:(P92练习第3题)如图,线段AB,BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离.

.

变式3: (P106例2)：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为, AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。

解：如图，

　　

于是，得

设向量 与的夹角为， 就是库底与水坝所成的二面角。

因此,

库底与水坝所成二面角的余弦值为

变式4: (P107练习第2题)已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长

解：由已知

,

∴

，

.　　　

变式5:(P113习题3.2A组第9题)正方体的棱长为1,点M是棱的中点,点O是的中点,求证:OM是异面直线与的公垂线,并求OM的长.

解: 以A为原点建立坐标系,得下列坐标:

，.

因为,所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

题2 (P119复习参考题B组第3题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和AC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.

(1)四棱锥S-ABCD的体积；

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的大小.

解：（1）直角梯形ABCD的面积为

。

∴四棱锥S-ABCD的体积为

.

(2)建立如图空间直角坐标系Axyz,则

,

.

∵SA⊥平面ABCD,AD⊥AB, ∴向量是面SAB的一个法向量.

设平面SCD的一个法向量为,由

令,则.

.

∴面SCD与面SAB所成二面角的大小.

变式1:如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ,

(1)求证：面SAB⊥面SBC;

(2)E点是SC的中点,求证：DE⊥面SBC.

变式2:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，PA＝a，求：(94上海)
　 ⑴二面角P－CD－A的大小(用反三角函数表示)；
　　⑵点A到平面PBC的距离.
　 解:如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE，
有PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PE⊥CD，
　 故∠PEA是二面角P－CD－A的平面角
　 在Rt△DAE中，AD＝3a，∠ADC＝arcsin
　　则AE＝ADsin∠ADC＝a
　 在Rt△PAE中，tan∠PEA＝
　 故二面角P－CD－A的大小为arctan
　 ⑵在平面PAB中，过点A作AH⊥PB，垂足为H，有PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，PA⊥BC，则有BC⊥平面PAB.
　 又AH∩平面PAB，因此BC⊥AH.又AH⊥PB，故AH⊥平面PBC.
　 因此线段AH的长即为点A到平面PBC的距离.
　 在等腰直角△PAB中，AH＝a,即点A到平面PBC的距离为a.

题3(P114习题3.2B组第3题)如图,在棱长为的正方体中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.

(1)求证;　　　　　　　　　　　　　　　

(2)当三棱锥的体积取得最大时,求二面角的正切值.　

解:(1)以C为坐标原点,以CO、CB、为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设，则，

，

，

∴，即.

(2)

当且仅当时,即E,F分别为AB,BC中点时, 最大.

取EF的中点G,连结BG, ,则,BG⊥EF, ⊥EF,即是二面角的平面角.

又,

∴.

即.

∴二面角的正切值是.

题4:(P114习题3.2B组第2题)在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD与平面互相垂直.活动弹子M, N分别在正方形的对角线AC和BF上移动，且CM和BN若的长度相等,记CM＝BN＝a(0＜a＜).
　 (1)求MN的长；
　 (2)当a为何值时，MN的长最小；
　 (3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的余弦值。
　 解:以B为坐标原点,以BA、BE、BC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则

，

（1）∵，

∴.

(2) ∵,

∴当时, .

(3)由(2)知当M, N分别为AC、BF中点时MN的长最小，则

.

取MN的中点G,连结AG, BG,则.

∵AM=AN,BM=BN, G为MN中点,

∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB即为二面角α的平面角.

∵，

.

所求二面角α的余弦值为.

　　变式:如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)(2002年全国(18)、天津(18乙))
　　1．求MN的长；
　　2．当a为何值时，MN的长最小；
　　3．当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.
　　本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
　　解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形.
　　∴MN＝PQ,
　　由已知，CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，
AC＝BF＝.
　　∴,即CP＝BQ＝.
　 MN＝PQ＝(0＜a＜)
　　∴MN＝(0＜a＜)
　　（2）由（1）MN＝
　 　所以，当a＝时，MN_min＝
　　 即当M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长度最小，最小值为
　　（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
　　∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。
又AG＝BG＝，所以由余弦定理有
　　cosα＝.故所求二面角α＝arccos(－).

题5:(P114习题3.2B组第1题)如图,四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点;异面直线AD与BE所成角为,且,求四面体DABC的体积.

　　 解:以B为坐标原点,以BC、BA、BD为x、y、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则

，

设

.

.

∴.

题6:(P112习题3.2A组第5题)如图，空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE.

(1)计算DE的长;

(2)求点O到平面ABC的距离.

解:(1)

,.

(2)

.

点O到平面ABC的距离是.

题7如图，设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：(91上海)
　 ⑴AD的连线与平面BCD所成的角；
　 ⑵AD得连线与直线BC所成的角；
　 ⑶二面角A－BD－C的大小
　 解:⑴过A在平面ABC内作AO⊥BC于O，连接DO，
　 ∵ 面ABC⊥面BCD，∴ AO⊥面BCD，
　 于是∠ADO就是所求AD与平面BCD所成的角，且∠AOD＝90°.
　 设AB＝BC＝BD＝2，则AO＝DO＝，△AOD为等腰直角三角形，
∠ADO＝45°.
　 ⑵注意到BC⊥AO，BC⊥DO，∴ BC⊥面AOD.
　 ∴ BC⊥AD，即BC与AD所成交为90°
　 ⑶在平面BCD内作OM⊥BD于M，连接AM
　 ∵ AO⊥面BCD，由三垂线定理知：AM⊥BD
　 ∴∠AMO即为二面角A－BD－C的平面角的补角，
　计算可得：OM＝，又∠AOM＝90°，AO＝
　∴∠AMO＝arctan2.
　于是二面角A－BD－C的大小为π－arctan2.