（2）不等式的证明
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．若a>0, b >0,则
的最小值是 （ ）
A．2 B．
C．
D．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．必要或充分条件
3．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
5．设a=
，b=
，
，则a、b、c间的大小关系是 （ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b
6．已知a、b、m为正实数，则不等式
（ ）
A．当a< b时成立 B．当a> b时成立
C．是否成立与m无关 D．一定成立
7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P<Q
8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式成立的是 （ ）
A．
B． 
C． 
D． 
9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ）
A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 ．
12．已知a>1，algb=100，则lg(ab)的最小值是 ．
13．使不等式a2>b 2，
，lg(a－b)>0，
14．建造一个容积为
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）
16．设
的大小．（12分）
17．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：
（12分）
18．已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd．（12分）
19．设计一幅宣传画，要求画面面积为
20．数列{xn}由下列条件确定：
．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥
；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥
． （14分）
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | B | B | B | D | A | A | C | A | A |
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．x≥9 12．
13．a>b>1 14．1760
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2
·2
·2
=8abc．
16．（12分）
[解析
]： 
（当且仅当t=1时时等号成立） 
（1） 当t=1时，
（2） 当
时，
，
若
若
17．（12分）
[证明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列， 
又∵a，b，c都是正数，所以
≤
∴
∴
∴
18．（12分）
[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a
展开得：a
即：a2d2 + b
∴xy≥ac + bd
[证法二]：（综合法）xy =
≥
[证法三]：（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina, b = xcosa
y2 = c2
+ d
∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy
19．（14分）
[解析]：设画面高为x cm，宽为
x cm 则x2=4840．
设纸张面积为S，有 S=（x +16）(x +10) = x 2+(16+10) x +160,
S=5000+44
当8
此时，高：
宽：
答：画面高为
20．（14分）
（I）证明：由
及
可归纳证明
（没有证明过程不扣分）
从而有
所以，当
成立.
（II）证法一：当
所以
故当
证法二：当
所以
故当
.