高二级数学平面与空间直线练习题

高二数学同步检测一

平面与空间直线

　　说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是(　　)

A.空间不同三点确定一个平面

B.空间两两相交的三条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内

答案:D

解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错.

如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.

如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.

2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于(　　)

A.30°　　　　　　　　　　　　　　 B.30°或150°

C.150°　　　　　　　　　　　　　  D.以上结论都不对

答案:B

解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.

3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是(　　)

A.直线AC　　　　　　　　　　　　　 B.直线BC

C.直线AB　　　　　　　　　　　　　 D.直线CD

答案:D

解析:

CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.

4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是(　　)

答案:C

解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C中的PQ与RS异面.

5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是(　　)

①a∩b=且a不平行于b  ②a平面α,b平面β且α∩β=　③a平面α,b平面α　④不存在平面α,使a平面α且b平面α成立

A.①②　　　　　　　 B.①③　　　　　　 C.①④　　　　　　 D.③④

答案:C

解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.

6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…(　　)

A.180°　　　　　　　 B.90°　　　　　　 C.60°　　　　　　  D.45°

答案:C

解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC内.

7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是(　　)

A.MN>a　　　　　　　  B.MN=a　　　　　　 C.MN<a　　　　　　  D.不能确定

答案:C

解析:如图,取AC中点P,则MPBC,NPAD,且MP+NP=(BC+AD)=a>MN,故C正确.

8.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于(　  )

A.　　　　　　　  B.　　　　　　　  C.　　　　　　　　 D.

答案:B

解析一:如图(1),取面CC₁D₁D的中心为H，连结FH、D₁H.易知OE∥FH，所以∠D₁FH为所求异面直线所成的角.在△FHD₁中，

FD₁=，FH=，D₁H=由余弦定理，得∠D₁FH的余弦值为.

解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC₁、FD₁,则GC₁∥FD₁.再取GC中点为H,连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角.

在△OEH中，OE=,HE=，OH=.

由余弦定理，可得cos∠OEH=.

9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P,Q两点之间的最小距离为(　　)

A.1　　　　　　  B.　　　　　　　　  C.　　　　　　　  D.

答案:C

解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ⊥AB,PQ⊥CD.在Rt△BQP中,

∵BQ=,BP=1,∴PQ==.

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是(　　)

A.①②③　　　　　　　 B.②④　　　　　　　  C.③④　　　　　　  D.②③④

答案:C

解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.

因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,

则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,

因为BN=a,ND′=a,BD′=a,所以BN²+D′N²=D′B²,即BN⊥ND′,BN⊥DM.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）

11.以下四个命题:

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈αlα;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈βα∩β=AB;

③lα,A∈lAa;

④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线α与β重合.

其中推理正确的序号是__________.

答案:①②④

解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l可能与平面α相交于A.故③不正确.

12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个.

答案:6

解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.

13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;

②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

其中不正确的序号是__________.

答案:①②

解析:在如图所示的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,A₁D₁⊥D₁D,C₁D₁⊥D₁D,

即A₁D₁与D₁D,C₁D₁与D₁D所成的角都是90°,但A₁D₁与C₁D₁不平行,可知①②不正确,由公理4可知③正确.

14.在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，如果E、F分别为AB、CC₁的中点，那么异面直线A₁C与EF所成的角等于_______________.

答案:arccos

解析:延长AA₁到P，使A₁P=AA₁，

连结PF，则PF∥A₁C，设A₁A=a.

则PE²=(a)²+(a)²=a²，

EF²=(a)²+a²+(a)²=a²，PF²=A₁C²=3a².

∴cos∠PEF=.

∴直线A₁C与EF所成的角等于arccos.

三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

15.已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求证：

(1)D、B、F、E四点共面；

(2)若直线A₁C交平面DBFE于点R，则P、Q、R三点共线.

(1)证法一:∵EF是△D₁B₁C₁的中位线,

∴EF∥B₁D₁.

在正方体AC₁中，B₁D₁∥BD,

∴EF∥BD.

由公理3知EF、BD确定一个平面,

即D、B、F、E四点共面.

证法二:延长BF,CC₁交于点G,延长DE,CC₁交于点G′.

G与G′重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.

(2)证明:正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设A₁ACC₁确定的平面为α,设平面DBFE为β,

∵为α、β的公共点.

同理,P亦为α、β的公共点,

∴R∈PQ,即P、Q、R三点共线.

点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.

16.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)证明E、F、G、H四点共面.

(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形?

(3)在（2）的条件下，若AC⊥BD，试证明EG=FH.

(1)证明:

∵AE∶EB=AH∶HD，∴EH∥BD.

∵CF∶FB=CG∶GD，

∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H四点共面.

(2)解:当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.

∵,∴EH=BD.

同理,FG=BD.由EH=FG得m=n.

故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.

(3)证明:当m=n时，AE∶EB=CF∶FB,∴EF∥AC.

又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角.∴∠FEH=90°.

从而EFGH为矩形，∴EG=FH.

点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.

17.如图,a,b,c为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与PQ的位置关系,并予以证明.

证法一:(反证法)

假设MN与PQ共面于β,则点M,N,P,Q∈β.

同理,aβ.

∴a,b,c共面,与已知a,b,c不共面矛盾.故MN与PQ为异面直线.

点QMN,

点P平面MON.

故平面MON内一点Q与平面外一点P的连线PQ与平面内不过Q点的直线MN是异面直线.

18.如图所示,今有一正方体木料ABCD—A₁B₁C₁D₁,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D₁,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?

解:作法如下:

(1)连结MN并延长交DC的延长线于F,连结D₁F交CC₁于Q,连结QN;

(2)延长NM交DA的延长线于E,连结D₁E交A₁A于P,连结MP;

(3)依次在正方体各个面上画线D₁P,PM,MN,NQ,QD₁,即为木工师傅所要画的线.

19.如图,AB,CD是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F分别是线段AD,BC上的点,且ED=2AE,FC=2BF,EF=a,G∈BD,EG∥AB.

(1)求AB与CD所成的角;

(2)求△EFG的面积.

解:(1)∵ED=2AE,EG∥AB,∴DG=2BG.

∵FC=2BF,∴FG∥DC.

∴∠EGF即为AB与CD所成的角或其补角.

∵AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又EF=a,

∴cos∠EGF=.

∴∠EGF=120°.∴AB与CD所成的角为60°.

(2)S_△EFG=EG·GF·sin120°

=×2a×a×sin120°

=a².