高二上期末考试模拟试题十二
数 学
（测试时间：120分钟 满分150分）
第 I 卷
一.选择题 1.已知F是抛物线
的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.若双曲线的两条渐近线方程是
x，焦点 F
（
）, 
(
) ,那么它的两条准线间的距离是（ ）
(A). 
(B) 
(C) 
(D)
3.点P（－3，1）在椭圆
的左准线上，过点P且方向为
的光线，经直线y＝－2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率是（ ）
（A）
(B) 
(C)
(D)
4.当曲线
与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时， 实数k的取值范围（ ）
（A）
(B)
(C) 
(D)
5.已知A,B是平面上的两个定点，M是以A为圆心定长L为半径的圆上的 一个动点，线段MB的中垂线交直线MA于点P，则点P的集合构成的图形是（ ）
（A）椭圆 (B) 双曲线的一支 (C) 抛物线 (D)不能确定
6.已知k是常数，若双曲线
的焦距与k的取值无关，则k的取值范是
（A）-2<k
(B)k>5 (C) 
(D)
7.若直线y=kx+2与双曲线
的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
8.已知直线L交椭圆 
于M,N两点，椭圆于y轴的正半轴交于点B，若
的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线L的方程是（ ）
(A)5x+6y-28=0 (B) 5x－6y-28=0 (C) 6x+5y-28=0 (D) 6x－5y-28=0
9.已知点A(5,2),F是双曲线 
的右焦点，M是双曲线右支上的一点，则
的最小值是（ ） (A)9 (B)12 (C)16 (D)20
10.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶
(A)
米 (B)
米 (C)
11.一个酒杯的截面是抛物线的一部分，它的方程是
，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为（ ）
（A）
(B)
(C) 
(D)
12.已知x,y满足：
，则
的最值是（ ）
（A）最大值为2，最小值为0 （B）最大值为2，无最小值
（C）无最大值，最小值为0 （D）无最值
二.填空题（每题4分，共16分）
13.已知圆上点A（1，0）关于直线x+2y-3=0的对称点仍然在这个圆上，且直线x+2y-3=0被圆截得的弦长为4，则这个圆的方程是
14.以定点A（2，8）和动点B为焦点的椭圆经过点P（－4，0），Q（2，0），则动点B的轨迹方程是
15.某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球的半径为R km，关于椭圆有以下四种说法：
（1）焦距长为n-m (2)短轴长为
（3）
离心率
(4)以AB方向为x轴的正方向，F为坐标原点，则左准线方程为
，
以上说法正确的是
16.若x,y为整数，则称坐标平面上的点（x,y）为格点，直线
与格点的距离的最小值是
三.解答题：
17.已知双曲线的中心在原点，焦点
在坐标轴上，离心率为
，且过点
，
（1）求双曲线方程。
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
。
（3）求：
的面积。
18.已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆
：
的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，－3），
（1）求椭圆C的方程
（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点,
,且点P的坐标为
，求点Q的坐标。
19.已知圆
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线L上。
（2）与L平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离；
（3）求证：任何一条平行于L且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。
20.设A
，B（
）两点在抛物线
上，L是AB得垂直平分线，
（1）当且仅当
取何值时，直线L经过抛物线得焦点F？证明你的结论；（2）当
时，求直线L得方程。
21.如图所示，线段AB＝4，动圆
与线段AB切于点C，且
=
，过点A,B分别作圆的切线，两切线相交于P，且P均在AB的同侧，
（1）建立适当的坐标系，当位置变化时，求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点B作直线L交曲线E于点M，N,求
面积的最小值。
 | |||
 | |||
22如图，直线
：y=kx(k>0)与直线
：y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为
,右半部分记为
，
（1） 分别用不等式组表示和；
（2） 若区域W中的动点P（x,y）到，的距离之积等于
，求点P的轨迹C的方程；
（3） 设不过原点O的直线L与（2）中的曲线C相交与
,且与，分别交于
两点，求证：
的重心与
的重心重合。
答案
一．选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| A | A | B | C | D | C | D | D | A | B | A | A |
二，填空题
13. 
或
14. 双曲线
的右支
15.（1）（3）（4）
16. 
三．解答题
17.（1）因为 e＝ 所以设双曲线方程为
……………………
因为过（4，
）点,所以16－10＝
，即＝6，
所以双曲线方程为
（2）易知
，
，所以
，
所以
。
＝
………………………………………………6
因为点（3，m）在双曲线上，所以9－
＝6，＝3
故。＝－1，
………………………………………………8
（3）
的底
=4
,其高为h＝
＝
所以
=6………………………………………………………………………12
18.椭圆：的两个焦点
(
),
(
),
又椭圆C与椭圆的焦点
,,,是一个正方形的四个顶点，椭圆C的中心在原点，
所以，关于原点对称，所以（0，
），（0，
）
故椭圆方程C可以设为：
………………………………3
因为椭圆C过点A（2，－3），所以
，解得，
或
（舍）
所以椭圆C的方程是
……………………………………………………6
（2）设Q（
，
），因为OPOQ,所以
。
＝
。
＝－1
所以＝－
又因为
，所以
，
即
，则
或
故点Q为
或
………………………………………………………………12
19.解 （1）配方得
，设圆心为（x,y）
则
消去m得L ：x-3y-3=0…………………………………………………………2
则圆心恒在直线L：：x-3y-3=0上………………………………………………………………4
（2）设与L平行的直线是：x-3y＋b=0，则圆心到直线的距离为
………………………………………………………………6
因为圆的半径为r＝5，所以
当d<r时即
<b<
时，直线与圆相交，
当d＝r时，即b＝
时，直线与圆相切，
当d>r时，即b<或b>时，直线与圆相离，…………………………8
（3）对于任一平行L且与圆相交的直线：x-3y＋b=0，由于圆心到直线的距离
，从而弦长＝
与m无关，
所以任何一条平行于L且与圆相交的直线被圆截得的弦长都相等，………………12
20.解 （1）因为F∈L，∴∣FA∣=∣FB∣∴A，B两点到抛物线的准线的距离相等----2分
∵抛物线的准线是X轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0，所以上述条件等价于y1=y2
x
=x
（x1+x2）(x1-x2)=0 ----------4分
∵x1
x2，上述条件等价于x1+x2=0，既当且仅当x1+x2=0时，L经过抛物线的焦点F
-------6分
（2）
=
=2，
=18
∴过点AB的直线的斜率为
---8分
∵L与AB垂直∴L的斜率为
------------------------10分
又线段AB的中点坐标为（
即（-1，10）
∴L的直线方程为y-10=（x+1）
即所求的方程为x-4y+41=0--------------------------12分
21.解 （1）以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，…1
如图，设P（x,y），因为
=
,
=
,
=
………………………………2
所以－＝
－
＝<4，所以点P的轨迹是以A,B为焦点，为实轴长的双曲线的右支（除去与x轴的交点），a＝，c＝2，所以
＝2，所以点P的轨迹E的方程是
（
）………………………………………………………………6
| |||
 | |||
|
（2）设MN：x=
.y＋2（
），
令
＝（－1<<1）,
则MN：x＝y＋2，…………………………………………………………………………8
由x＝y＋2，（）消去x得
（
－1）
＋4y＋2＝0，设M(
)，N（），则
＝
，
＝
.＝
4＝
…………10
因为1
<2，所以4<+1＋
1＋4＝5
所以0<+1+－41，所以
当＝0，即MNx轴时，有最小值。…………………………………12…
