第一学期期末考试
高二数学试卷(理)
（考试时间为120分钟，总分为160分） 2007年1月
一、选择题（每题5分，共计50分）
1．已知
，则
的值为
A．1 B．
D．
2．设
，
，且
，则
等于
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象如图所示，则导函数
的图象大致是
4．双曲线
上的点P到点(5,
0)的距离是15, 则点P到点(－5, 0)的距离是
A．7 B．
5．已知实数x，y满足条件
，则z = x + 3y的最小值是
A．
B．
C．12 D．－12
6．曲线
与曲线
的
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
7．“a＞b＞
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件
8．设
是
所在平面外一点，若
，则点在这
个平面上的射影是的
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
9．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列
的第2007项是
A．2050 B．
10．已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的最小值为
A．8
B．
二、填空题（每题5分，共计30分）
11．双曲线
的渐近线方程是 ▲ ．
12．命题：“若
，则
或
”的否命题是 ▲ ．
13．等差数列的第2，3，6项顺次成等比数列，该等差数列不是常数列，则这个等比数列的公比为 ▲ ．
14．设点P在抛物线
上，且点P到此抛物线的焦点的距离为6，则点P的坐标
为 ▲ ．
15．在曲线
上取一点M，使过M点的切线方程与直线y=
x平行，则M点的坐标是点 ▲ ．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，
，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线
与椭圆
有相同的焦点；
③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点
及定直线
的距离之比为
的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为 ▲ ．
三、解答题（共计80分）
17．（本题满分14分）已知抛物线
的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线
：
的一个焦点
且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是
．
（1）求抛物线的方程及其焦点
的坐标；
（2）求双曲线的方程及其离心率．
18．（本题满分16分）如图，已知长方体
中，
，
，直
线
与平面
所成的角为
，
垂直
于点
，是
的中点．
（1）求异面直线与
所成角的余弦值；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；
19．（本小题满分16分）已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）．
（Ⅰ）若
= 30，求；
（Ⅱ）试写出a30关于的关系式，并求a30的取值范围；
（Ⅲ）续写已知数列，可以使得
是公差为3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出
关于的关系式（
N
）；
（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且
，试用表示此数列的前100项和
．
20．（本小题满分16分）已知
在
与
时，都取得极值．
(1) 求
的值；
(2)若
，求
的单调区间和极值；
(3)若对
都有
恒成立，求
的取值范围．
21．（本小题满分18分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数
，使
，请给出证明．
第一学期期末考试
高二数学试卷答卷（理）
一、选择题（每题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题（每题5分，共计30分）
11． 12．
13． 14． 15． 16．
三、解答题（共计80分）
17．（本题满分14分）
 |
18．（本题满分16分）
19．（本题满分16分）
20．（本题满分16分）
21．（本题满分18分）
第一学期期末考试
高二数学试卷参考答案（理）
一、选择题（每题5分，共计50分）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | C | D | D | B | A | A | B | C | C |
二、填空题（每题5分，共计30分）
11．
； 12．若
，则
且
； 13．
14．
；
15．
；
16．②③
三、解答题（共计80分）
17．（本题满分14分）已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．
（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；
（2）求双曲线的方程及其离心率．
解：（1）由题意可设抛物线的方程为
．
(2分)
把代入方程为，得
(4分)
因此，抛物线的方程为
．
(5分)
于是焦点
(7分)
（2）抛物线的准线方程为
，
所以，
(8分)
而双曲线的另一个焦点为，于是
因此，
(10分)
又因为
，所以
．
于是，双曲线的方程为
．
(12分)
因此，双曲线的离心率
．
(14分)
18．（本题满分16分）如图，已知长方体中，，，直线与平面所成的角为，
垂直于点，是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
解：在长方体中，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，以所在的直线为
轴，建立如图
所示空间直角坐标系．
由已知，，可得
，
，
．又
平面，从而与平面所成的角为
，而，
，
，
，因此易得
，
． (4分)
（1）因为
，
，所以
．
于是，异面直线与所成角的余弦值为
．
(10分)
（2）易知直线的一个方向向量为
，设
是平面的一个法向量，
，由
取，得
，所以
，即直线与平面所成角的正弦值
．
(16分)
19．（本小题满分16分）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）．
（Ⅰ）若= 30，求；
（Ⅱ）试写出a30关于的关系式，并求a30的取值范围；
（Ⅲ）续写已知数列，可以使得是公差为3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出关于的关系式（N）；
（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且，试用表示此数列的前100项和．
解：（Ⅰ）
于是，
(4分)
（Ⅱ）
因此，
(8分)
（Ⅲ）
(12分)
（Ⅳ）
+
(16分)
20．（本小题满分16分）已知在与时，都取得极值．
(1) 求的值；
(2)若，求的单调区间和极值；
(3)若对都有 恒成立，求的取值范围．
解：（1）f ′(x)＝3x2＋
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2． (4分)
经检验得：这时与都是极值点．
(5分)
（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
| x | （－∞，－） | （－，1） | （1，＋∞） |
| f ′(x) | ＋ | － | ＋ |
∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－．(10分)
（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，
f (x)在[－1，－
及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．
∴ 
∴ 
∴ 
或
∴ 
或
．
(16分)
21．（本小题满分18分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数，使，请给出证明．
解：（1）
，即
，
．
∴ 
∴ 
(4分)
如图建立直角坐标系，设椭圆的方程
为
．
则由代入得
，
把代入得
．
所以椭圆的方程为
(8分)
（2）设
的平分线
交
于点
，则
．
由
可知直线
与
的倾斜角互补．
(10分)
于是直线与的斜率互为相反数，因此可设：
直线的方程为
和直线的方程为
．
由
解得
；
(14分)
同理由
解得
．
∴ 直线
的斜率
，而
（特例）．
(16分)
∴ 
∴ 总存在实数，使．
(18分)