新课标高二数学同步测试（3）—（2－1第二章2.4－2.5）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．x=
表示的曲线是 （ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
2．设双曲线
=1（0＜a＜b＝的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线l的距离为
c，则双曲线的离心率为 （ ）
A．2 B．
C．
D．
3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±5
)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为
，则椭圆方程为 （ ）
A．
+
=1 B．
+
=
+
=1 D．
+=1
4．过双曲线
的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．过椭圆
+
=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是 （ ）
A．ab B．ac C．bc D．b2
6．椭圆
与连结A(1，2)，B(2，3)的线段没有公共点，则正数a的取值范围是（ ）
A．(0,
)∪ (
,∞) B．(,∞)
C．[，] D．（，）
7．以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为
F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）
A．
B．
C
．２－
D．－１
8．已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 （ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
9．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=－, 那么m的值等于 （ ）
A．
B．
C．2 D．3
10．对于抛物线C: y2=4x, 我们称满足y02<4x0的点M(x0, y0)在抛物线的内部, 若点M(x0, y0)在抛物线的内部, 则直线l: y0y=2(x+ x0)与C （ ）
A．恰有一个公共点 B．恰有二个公共点
C．有一个公共点也可能有二个公共点 D．没有公共点
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．
12．设P为双曲线
y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．
13．定长为l (l>
)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为
14．如果过两点
和
的直线与抛物线
没有交点，那么实数
的取值范围是_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
15．（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且AF、MF、BF成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．
（1）求点N的坐标（用x0表示）；
（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若MN=4，求△MPQ的面积．
16．（12分）已知双曲线
的离心率
，过
的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
17．（12分）已知抛物线
的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．
|
18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点
，它们在
轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线
过点
，交抛物线于
两点，是否存在垂直于轴的直线
被以
为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
19．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线
写出具有类似特性的性质，并加以证明．
20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值．
参考答案
一、1．D；解析：x=化为x2＋3y2＝1（x＞0）．
2．A；解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为c，则有
，又c2=a2+b2，∴4ab=c2，两边平方，得
.而0＜a＜b，得e2=
＞2，∴e2=4.故e=2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.
3．C；4．C；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D
二、
11．
；解析：原方程可化为
＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝．当等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，代入曲线方程得：y＝
∴S＝
×2y2＝．
12．x2－4y2＝1；解析：设P（x0，y0）∴M（x，y），∴
∴2x＝x0，2y＝y0
∴
－4y2＝1
x2－4y2＝1．
13．
；
14．
；
三、
15．（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由AF、MF、BF成等差数列得x1+x2=2x0．
得线段AB垂直平分线方程：
令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)．
（2）由M(x0,
y0) , N(x0+4,
0), MN=4, 得x0=2．
由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．
直线PQ: y=x－6, 由
得△MPQ的面积是64．
16．解：∵（1）
原点到直线AB：
的距离
．
故所求双曲线方程为 
（2）把
中消去y，整理得 
.
设
的中点是
，则
即
故所求k=±
.
说明：为了求出
的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
17．解：设
、
，中点
当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是
（2分）
当AB直线的倾斜角不为90°时，
相减得
所以
（4分）
设AB直线方程为：
，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时，
所以
，
故
故当
18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为
，将代入方程得
，
；
由题意知椭圆、双曲线的焦点为
；
对于椭圆，
；
对于双曲线，
（2）设的中点为
，的方程为：
，以为直径的圆交于
两点，
中点为
令
19．解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得）在椭圆上，因此
=1得b2=3，于是c2=1.
所以椭圆C的方程为
=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.
（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：
， 即x1=2x+1，y1=2y.
因此
=1.即
为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中
=1.
又设点P的坐标为（x，y），由
，
得kPM·kPN=
，将
m2－b2代入得kPM·kPN=
.
评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意
20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得
.
令
则 
共线，得
（2）证明：由（I）知
，所以椭圆
可化为
.
在椭圆上，
即 
①
由（1）知
又
又，代入①得 
故为定值，定值为1.