高二数学同步测试4

新课标高二数学同步测试（4）—（2－1第三章3.1）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　 　　　　　　 B．

　　　 C．　 　　　　　　　　　 D．

3．已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．85　　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．50

4．与向量平行的一个向量的坐标是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．（，1，1）　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．（－1，－3，2）　

　　　 C．（－，，－1）　 　　　　　　　　　　　 D．（，－3，－2）

5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（　　）

　　　 A．0　　 　　　　　　　 B．　　　 　　　　　C．　　  　　　　　　D．

6．已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　 　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　

　　　 C．　　　　　　　 　　　　 D．

7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．钝角三角形　　　　B．锐角三角形　　　　 C．直角三角形　　　　D．不确定

8．空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=60⁰，则cos=　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．-　　　　　　　　　　D．0

9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

10． 已知，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为　　　　　　　 ．

12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 　　　　　　　　　 ．

13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则DABC的形状是　　　　　　　 ．

14．已知向量，，若成120⁰的角，则k=　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．

16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（1）求向量的坐标；

（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值

17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．

18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量={x₁，y₁，z₁}，={x₂，y₂，z₂}，={x₃，y₃，z₃}，定义一种运算：

（×）·=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．

19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

（1）求的长；

（2）求cos< >的值；

（3）求证：A₁B⊥C₁M.

20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）证明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

参考答案

一、1．A；解析：=+（－）=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.

2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．

3．B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．

4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．

5．C；解析：，计算结果为－1．

6．B；解析：显然．

7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．

8．D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．

9．D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．

10．C；

二、

11．；解析：，得，可得结果．

12． ；

解析：

13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．

14．；解析：，得．

三、

15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．

由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．

根据空间两点距离公式，可得

．

16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.

OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.

∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.

（2）依题意：，

所以.

设向量和的夹角为θ，则

cosθ=.

17． 证：如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：

展开得

∴，∵≠，≠，

∴⊥（）即SA⊥BC．

同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．

18． （1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：设与的夹角为θ，则

cosθ=

V=··sinθ·=

（3）解：（×）·=－4－32－4－8=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测：（×）·在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.

评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.

19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz.

（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴ =.

（2）依题意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，=，=

∴cos<，>=.

（3）证明：依题意，得C₁（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.

20．（1）证明：设=，=，=，则 =，∵=－，

∴·=（－）·=·－·=·cos60°－·cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC₁，则∠C₁OC为二面角α—BD—β的平面角.

∵（+），（+）－

∴·（+）·［（+）－］

=（²+2·+²）－·－·

=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.

则=，=，∴cosC₁OC=

（3）解：设=x，CD=2， 则CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只须求满足：=0即可.

设=，=，=，

∵=++，=－，

∴=（++）（－）=²+·－·－²=－6，

令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.

评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.