新课标高二数学同步测试（6）—（2－2第一章1.1—1.4）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．两曲线
相切于点（1，－1）处，则a，b值分别为（ ）
A．0，2 B．1，－
2．
（ ）
A．在（－∞，＋∞）单调增加
B．在（－∞，＋∞）单调减少
C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加
D．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少
3．当x≠0时，有不等式 （ ）
4．若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则 （ ）
A．极大值一定是最大值，极小值一定是最小值
B．极大值必大于极小值
C．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
D．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
5．
（ ）
A．
B．
C．
D
．
6．下列求导运算正确的是 （ ）
A．(x+
B．(log2x)′=
C．(3x)′=3xlog3e D．(x2cosx)′=－2xsinx
7．函数f(x)= a x2+x+1有极值的充要条件是 （ ）
A．a >0 B．a≥0
C．a <0 D．a ≤0
8．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
|
)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根.
C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根
10．已知函数f (x)的导数为
且图象过点（0，－5），当函数f (x)取得极大值－5时，x的值应为 （ ）
A．－1 B．0
C．1 D．±1
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．函数f（x）＝x＋2cosx在区间
上的最大值为_________;在区间[0，2π]上最大值为___________．
12．已知
，奇函数
在
上单调，则字母
应满足的条件是 ．
13．两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________．
14．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
15．（12分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．
16．（12分）是否存在这样的k值，使函数
在（1，2）上递减，在（2，－∞）上递增．
17．（12分）设函数
（1）求导数
; 并证明
有两个不同的极值点
;
（2）若不等式
成立，求
的取值范围.
18．（12分）讨论函数
的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．
19．（14分）如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h所做成的盒子体积V(不计接缝).
（1）写出体积V与高h的函数关系式；
（2）当
为多少时，体积V最大，最大值是多少？
20．（14分）已知过函数f（x）=
的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
令
．是否存在一个实数t，使得当
时，g（x）有最大值1？
参考答案
一、
1．D；2．C；3．B；4．D；
5．D 提示：这里插入
，因为题目假定f（x）在
点可导，所以分成两项的极限都存在．
因为题中只设f（x）在可导，没说在及其邻域内可导，更没假定
在点连续，所以上面的做法是无根据的．
6．D；7．C 8．D 9．B 10．B
二、
11．
；提示：
得f（x）的驻点为
，当在区间内考虑时，仅有一个驻点
比较后得知，f（x）在上的最大值为
，而当考虑区间[0，2π]上的最大值时，需比较f（0）,
f（2π）,
四个值的大小．
12．
；解析：
；
．
，
若
上是增函数，则
恒成立，即
；
若上是减函数，则
恒成立，这样的
不存在．；
综上可得：
13．5与43；
14．1000！；提示：
三、
15．解析：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴
c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，
=3x2+2ax+b
∴ 0=3×02+2a×0+b，得b=0
∴ y=x3+ax2，=3x2+2ax
当
时，
，当
时，
当x=
时，函数有极小值－4
∴ 
，得a=－3
（2）=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
点拨：1、如果函数f(x)在点x=x0的一个δ区域：(x0－δ，x0+δ)内有定义，对任意的x∈(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)总有f(x)＜f(x0)（f(x)＞f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大（小）值，x0称为极大（小）值点；
2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值．
16．解析：f(x)=4k2x3－2x2－2kx+2，由题意，当x∈（1，2）时，
＜0
当x∈(2，+∞)时，＞0
由函数的连续性可知
=0
即32k2－8－3=0得
或
验证：当时，
若1＜x＜2，
，
若x＞2，
，符合题意
当时，
显然不合题意
综上所述，存在，满足题意
点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证．
17．（1）
因此
是极大值点，
是极小值点.
（II）因
又由（I）知
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
18．解：设
则
，于是当0<x≤2时，
而只有x＝0时，
，故在[0，2]上
为单调减少，
而
所以
在
为单调减少，在
为单调增加，
因而在[0，2]上f（x）的最大值f（0）＝27，最小值
19．解：（1）六棱柱的底边长（
）cm，
底面积为（
）cm2
∴体积V＝
＝
（2）V′＝
得
或
（舍去）
∴当cm时V有最大值
cm3
20．解：（1）
=
依题意得k=
=3+2a=－3，
∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1
（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004．
（1）
已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，
①
当t＞3时，t－3x2＞0，
∴g（x）在
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
②
当0≤t≤3时,
令
=0,得x=
列表如下:
| x | （0, |
|
|
|
| ＋ | 0 | － |
| g（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
g（x）在x=处取最大值－
＋t=1
∴t=
=
＜3
∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，
∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1．